Question

22. Un bote se jala hacia un muelle por medio de un cabres-
tante. El cabrestante está situado al final del muelle y se
encuentra a 10 pies por arriba del nivel al que la cuerda
de arrastre está atada a la proa del bote. La cuerda se jala
a razón constantele 1 pie/s. Use una función trigonomé-
trica inversa para determinar la razón a la cual cambia el
ángulo de elevación entre la proa del bote y el final del
muelle cuando se han soltado 30 pies de cuerda.​

Answer 1

La razón a la cual cambia el ángulo de elevación entre la proa del bote y el final del muelle cuando se han soltado 30 pies de cuerda y esta se recoge a razón de 1 pie/s es de 0.01 rad/s.

Explicación paso a paso:  

Primero, se identifican las variables:

s  =  distancia vertical de la proyección de la proa del bote al muelle, en pies.  

c  =  distancia directa de la proa del bote al muelle, en pies

t  =  tiempo, en segundos.

dc/dt  =  velocidad de recogida de la cuerda, en pie/s.

θ  =  ángulo de elevación de la cuerda en la proa del bote, en radianes.

dθ/dt  =  velocidad de cambio del ángulo de elevación de la cuerda, en rad/s.

Segundo, identificamos la relación que existe entre las variables:

En el transcurrir del tiempo, la cuerda se recoge, disminuyendo la distancia entre el bote y el muelle, obligando a que el ángulo de elevación de la cuerda aumente; es decir, la longitud de la cuerda y el ángulo de elevación de la misma en la proa del bote dependen del tiempo.  

La gráfica permite ver que con la ayuda de un triángulo rectángulo, podemos desarrollar expresiones matemáticas que relacionen las variables y de las cuales obtener sus tasas de cambio.

Tercero, expresamos, a través de una ecuación matemática, la relación entre las variables y sus tasas de cambio:

Dado que la proa está ubicada a una distancia vertical (s) fija de  s  =  10 pies del muelle, y que el bote se encuentra a una distancia variable  (c)  del muelle, podemos deducir, a partir del triángulo rectángulo, la función inversa trigonométrica:

$\bold {\theta~=~ArcSen[\frac{10}{c}]}$

para expresar la relación entre el ángulo de elevación de la cuerda y la longitud de esta.

Al derivar implícitamente esa expresión a ambos lados, obtenemos la relación entre las tasas de cambio en función del tiempo:

$\bold{\frac{d\theta}{dt}~=~\frac{-\frac{10}{c^{2}}\frac{dc}{dt}}{{\sqrt{1~-~(\frac{10}{c})^{2}}}}}}$  

En el momento en que se han soltado 30 pies de cuerda y esta se recoge a razón de 1 pie/s, entonces

$\frac{d\theta}{dt}~=~\frac{-\frac{10}{(30)^{2}}(-1)}{\sqrt{1~-~(\frac{10}{30})^{2}}}\qquad\Rightarrow\qquad\bold{{d\theta}{dt}~=~0.01~rad/s}$  

La razón a la cual cambia el ángulo de elevación entre la proa del bote y el final del muelle cuando se han soltado 30 pies de cuerda y esta se recoge a razón de 1 pie/s es de 0.01 rad/s.

Answer 2

Respuesta:

0.01 rad/s

Explicación paso a paso:

Un ejemplo más práctico (la respuesta de arriba es muy teórica)