Question

demostrar
sen ( a+b) = sen a·cos b+ sen b·cos a.

Answer 1

Se demuestra que Sen(B+C) = cosC*senB + senC*cosB

Explicación paso a paso:

Se tiene un triángulo escaleno con ninguno de sus lados iguales y ángulos iguales, se aplica la ley del seno, que dice un lado entre el seno del ángulo opuesto va ser igual a otro lado entre el ángulo opuesto a ese lado, (ver imagen adjunta)

$\frac{a}{senA} = \frac{b}{senB}$

Arreglando de forma lineal

a*senB = b*senA

el segmento a se dividen entre m y n

a = m + n

(m+n)*senB = b*senA

Se realiza la multiplicación

m*senB + n*senB = b*senA

Se pasa b dividiendo quedando

m/b*senB + n/b*senB = sen A

Partiendo de dividir el triángulo en 2, se observa que m/b = cosC

cosC*senB + n/b*senB

Se sabe que senB = h/c

Se sustituye

cosC*senB + n/b*h/c

Se realiza cambio de numeradores debido a que es multiplicación y el orden de los factores no altera el producto

cosC*senB + h/b*n/c

h/b = senC

n/c = cosB

Viendo las relaciones trigonométricas en el triángulo, cateto opuesto/hipotenusa = seno y cateto adyacente/hipotenusa = coseno

cosC*senB + senC*cosB

Se sabe que la suma de los ángulo internos de un triángulo es 180º y ademas el seno de un ángulo es igual a su suplemento, expandiendo la línea BA (ver imagen) se tiene que el ángulo exterior a A debe ser igual a B + C, debido a que A+B+C = 180

SenA = Sen(180-A) = Sen(B+C)

Demostrando que:

Sen(B+C) = cosC*senB + senC*cosB