Question

Graficar función a trozos encontrando los valores de (a) y/o (b) que hace que la función sea continua. Geogebra). Demostrar matemáticamente que la función queda continua con los valores hallados anteriormente
¬¬
f(x)={█(3x+7a Si x<2@ax-1 Si x  2)┤


f(x)={█(x si x≤1@ax+b si 1

Answer 1

La primera función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  -7/5

La segunda función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  4    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -3    y    b  =  4

Explicación:

Una función f(x) es continua en un valor dado    x  =  α    si se cumple que:

$\bold{f(\alpha)~=~\lim_{x \to\alpha}f_(x)}$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.  

Primera función:  

Ya que    f(2)    está definida, vamos a plantear los límites laterales en ese punto y los igualamos al valor de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar el valor de a.

1.-    f(2)  =  a(2)  -  1

2.-

  $\begin{cases} {\lim_{x\to\ 2^{-}}(3x~+~7a)~=~6~+~7a\\\lim_{x\to\ 2^{+}}(ax~-~1)~=~2a~-~1 \end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$6~+~7a~=~2a~-~1\qquad\Rightarrow\qquad \bold{a~=~-\frac{7}{5}}$

4.- El límite existe y es igual a la función evaluada en el punto:

$\bold{\lim_{x\to\ 2^{-}}f_{(x)}~=~\lim_{x\to\ 2^{+}}f_{(x)}~=~-\frac{19}{5}~=~f_{(2)}}$

La primera función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  -7/5

Segunda función:  

Ya que    f(1)  y  f(4)    están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR    x  =  1

1.-    f(1)  =  1

2.-

$\begin{cases}\lim_{x\to\ 1^{-}}(x)~=~1\\ \lim_{x\to\ 1^{+}}(ax~+~b)~=~a~+~b \end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$\bold{a~+~b~=~1}$

VALOR    x  =  4

1.-    f(4)  =  -2(4)  =  -8

2.-

$\begin{cases}\lim_{x\to\ 4^{-}}(ax~+~b)~=~4a~+~b\\ \lim_{x\to\ 4^{+}}(-2x)~=~-8 \end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$\bold{4a~+~b~=~-8}$

Con las ecuaciones en el paso 3 de cada valor construimos un sistema:

a+ b  =  1

4a+ b  =  -8

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por (-1) y sumamos, obteniendo:

3a  =  -9        ⇒       a  =  -3        ⇒        b  =  4

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  1  se obtiene que el límite vale  1,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  4  se obtiene que el límite vale  -8,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

La segunda función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  4    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -3    y    b  =  4