Question

Ejercicios 3. Ecuaciones de Cauchy - Euler. Solucionar a la siguiente ecuación de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo) 2/7 x^3 y^(´´´)+8/7 x^2 y^(´´)-4/7 y=0

Answer 1

La solución a esta ecuación diferencial es $y=C_1x^{-1}+C_2x^{-\sqrt{2}}+C_3x^{\sqrt{2}}$

Explicación paso a paso:

Para resolver la ecuación de Cauchy-Euler vamos a suponer que la solución a la misma es $y=x^m$, con lo cual al sustituirla en la expresión planteada tiene que cumplirse la igualdad:

$\frac{2}{7}x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+\frac{8}{7}x^2(m(m-1))x^{m-2}-\frac{4}{7}x^m=0$

Como hay un denominador común 7, lo paso multiplicando al segundo miembro y multiplico las potencias de 'x':

$2x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+8x^2(m(m-1))x^{m-2}-4x^m=0\\x^3(m(m-1)(m-2))x^{m-3}+4x^2(m(m-1))x^{m-2}-2x^m=0\\\\x^m[m(m-1)(m-2)]+4x^m[m(m-1)]-2x^m=0$

Los factores $x^m$ se pueden cancelar y queda:

$[m(m-1)(m-2)]+4[m(m-1)]-2=0\\\\m(m^2-3m+2)+4[m^2-m]-2=0\\\\m^3-3m^2+2m+4m^2-4m-2=0\\\\m^3+m^2-2m-2=0$

Ahora hay que hallar las raíces de este polinomio, una de ellas se obtiene por tanteo y es m=-1, las otras son:

$~~~~~ | 1~~1~~-2~~-2\\-1|~~~-1~~0~~2\\----------------\\~~~~~|1~~0~~-2~~~0$

Lo que da como raíces:

$m^2-2=0\\\\m=\ñ\sqrt{2}$

Con lo cual la solución general sería:

$y=C_1x^{-1}+C_2x^{-\sqrt{2}}+C_3x^{\sqrt{2}}$