Question

Halla las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de la manera exacta en cada uno de los triangulos

Answer 1

Recordemos las razones trigonometricas

$\sin( \alpha ) = \frac{c \: opuesto}{hipotenusa} \\ \cos( \alpha) = \frac{c \: adyacente}{hipotenusa} \\ \tan( \alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{c \: opuesto}{c \: adyacente}$

a)

Primero hallemos la hipotenusa con el Teorema de Pitagoras

${h}^{2} = {(2x)}^{2} + {(2x)}^{2} \\ {h}^{2} = 4 {x}^{2} + 4 {x}^{2} \\ {h}^{2} = 8 {x}^{2} \\ h = \sqrt{8} x$

$\sin( \alpha) = \frac{2x}{ \sqrt{8}x } = \frac{2}{ \sqrt{8} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\cos( \alpha ) = \frac{2x}{ \sqrt{8}x } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\tan( \alpha ) = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = 1$

b)

${h}^{2} = {( \sqrt{6}) }^{2} + { (\sqrt{4} )}^{2} = 10 \\ h = \sqrt{10}$

$\sin( \alpha ) = \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{10} } = \sqrt{ \frac{3}{5} }$

$\cos( \alpha ) = \frac{ \sqrt{4} }{ \sqrt{10} } = \sqrt{ \frac{2}{5} }$

$\tan( \alpha ) = \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{4} } = \sqrt{ \frac{3}{2} }$

c) Encontramos el cateto que falta con el teorema de pitagoras

${( \sqrt{x + y} )}^{2} = {( \sqrt{x} )}^{2} + {c}^{2} \\ x + y = x + {c}^{2} \\ c = \sqrt{y}$

$\sin( \alpha ) = \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x + y} }$

$\cos( \alpha ) = \frac{ \sqrt{y} }{ \sqrt{x + y} }$

$\tan( \alpha ) = \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{y} } = \sqrt{ \frac{x}{y} }$

d) Encontramos el cateto que falta

${(4x)}^{2} = {x}^{2} + {c}^{2} \\ 16 {x}^{2} = {x}^{2} + {c}^{2} \\ 15 {x}^{2} = {c}^{2} \\ c = \sqrt{15} x$

$\sin( \alpha ) = \frac{x}{ 4x } = \frac{1}{ 4 }$

$\cos( \alpha ) = \frac{ \sqrt{15}x }{4x} = \frac{ \sqrt{15} }{4}$

$\tan( \alpha ) = \frac{x}{ \sqrt{15} x} = \frac{1}{ \sqrt{15} } = \frac{ \sqrt{15} }{15}$