Question

Determine el área del mayor rectángulo que puede ser inscrito en una circunferencia de
radio r = 10 cm

Answer 1

El mayor rectángulo que puede inscribirse en la circunferencia de radio 10 cm tiene un área de 200 centímetros cuadrados.

Explicación paso a paso:

Si el rectángulo está inscrito en una circunferencia de radio 10cm, sus diagonales son diámetros de esa circunferencia y por ende miden 20cm. La diagonal a su vez parte al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes donde es la hipotenusa. Una primera expresión es:

$A=2\frac{b.h}{2}=2\frac{b.\sqrt{(20cm)^2-b^2}}{2}=b\sqrt{(20cm)^2-b^2}$

Expresión que derivamos e igualamos a cero para hallar el valor de la base que hace máxima al área:

$A=\sqrt{400cm^2.b^2-b^4}\\\\\frac{dA}{db}=\frac{800cm^2.b-3b^2}{2\sqrt{400cm^2.b^2-b^4}}\\\\800cm^2.b-4b^3=0\\800cm^2-4b^2=0\\\\b=\sqrt{\frac{800cm^2}{4}}\\\\b=14,1cm$

Este valor lo reemplazamos en la expresión hallada para el área para determinar el área máxima:

$A=b\sqrt{(20cm)^2-b^2}\\A=14,1cm\sqrt{(20cm)^2-(14,1cm)^2}\\A=14,1cm.14,1cm\\\\A=200cm^2$

Donde además quedó demostrado que el mayor rectángulo que se puede inscribir en la circunferencia es el cuadrado.