Question

Estudiante N° 5
Considere la siguiente situación. Se requiere determinar la densidad de una muestra de glucosa a 1% para la cuantificación de glucosa en un alimento, para lo cual se usó tres picnómetros de 5 mL realizándose la medida tanto del picnómetro vacío como lleno con la muestra de glucosa, obteniéndose los siguientes valores:
Densidad (g/ml) Densidad (g/ml) Densidad (g/ml)
1,025 1,105 1,103
1,045 1,150 1,150
1,025 1,031 1,035
1,027 1,047 1,045
1,030 1,130 1,132
1,113 1,037 1,112
1,026 1,129 1,136


Calcule:
a. La densidad de la muestra de glucosa al 1% por cada picnómetro
b. Desviación estándar
c. Coeficiente de variación
d. El intervalo de confianza empleando t-student con un nivel de confianza de 95%
A partir del valor de densidad obtenido en el ejercicio anterior, calcule el valor relativo teniendo en cuenta que la densidad exacta para la muestra es 1,05 g/mL y realice un análisis de acuerdo a las diferencias entre errores y dispersión que los datos brinda.
¿Cuáles son los criterios para determinar la cantidad de muestras para un análisis?

¿ Que consideraciones se deben tener en cuenta en la toma de una muestra?

Buenas noches por favor ayudarme a resolver este ejercicio que no entiendo muy bien .
muchas gracias

Answer 1

A continuación realizaremos los cálculos de estadística descriptiva e inferencial solicitados para cada picnómetro:  

Explicación paso a paso:  

a. La densidad de la muestra de glucosa al 1% por cada picnómetro  

La media es el promedio de los valores de una variable, es la suma de los valores dividido por el número de valores involucrados.  

$\bold{\overline{x}~=~\frac{(x_{(1)}~+~x_{(2)}~+~...~+~x_{(n)})}{n}}$  

Vamos a calcular la media de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolos con los subíndices 1, 2 y 3:  

$\overline{x_{1}}=\frac{(1,025+1,045+1,025+1,027+1,030+1,113+1,026)}{7}=1,042$  

$\overline{x_{2}}=\frac{(1,105+1,150+1,031+1,047+1,130+1,037+1,129)}{7}=1,090$  

$\overline{x_{3}}=\frac{(1,103+1,150+1,035+1,045+1,132+1,112+1,136)}{7}=1,102$  

b. Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la Varianza muestral. Esta última es el promedio de los desvíos, con respecto a la media, al cuadrado:  

$\bold{s~=~\sqrt{s^{2}}~=~\sqrt{\frac{(x~-~\overline{x})^{2}}{n~-~1}}$  

Vamos a calcular la desviación estándar de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolas con los subíndices 1, 2 y 3:  

$s_{1}=\sqrt{\frac{(1,025-1,042)^{2}+(1,045-1,042)^{2}+…+(1,026-1,042)^{2}}{7-1}=0,032$  

$s_{2}=\sqrt{\frac{(1,105-1,090)^{2}+(1,150-1,090)^{2}+…+(1,129-1,090)^{2}}{7-1}=0,050$  

$s_{3}=\sqrt{\frac{(1,103-1,102)^{2}+(1,150-1,102)^{2}+…+(1,136-1,102)^{2}}{7-1}=0,045$  

c. Coeficiente de variación  

El coeficiente de variación es una medida de la magnitud de la variabilidad en relación con la media.  

$\bold{CV(^{o}/_{o})~=~\frac{s}{\overline{x}}\cdot 100^{o}/_{o}}$  

Vamos a calcular el coeficiente de variación de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolos con los subíndices 1, 2 y 3:  

$CV_{1}~=~\frac{0,032}{1,042}\cdot 100~=~3,07 ^{o}/_{o}$  

$CV_{2}~=~\frac{0,050}{1,090}\cdot 100~=~4,59^{o}/_{o}$  

$CV_{3}~=~\frac{0,045}{1,102}\cdot 100~=~4,08^{o}/_{o}$  

d. El intervalo de confianza empleando t-student con un nivel de confianza de 95%  

El intervalo de confianza al 95% se calcula por medio de la fórmula:  

$\bold{IC_{\mu(1-\alpha)^{o}/_{o}}~=~\overline{x}~\pm~\frac{s\cdot t_{1-\frac{\alpha}{2};~(n-1)gl}}{\sqrt{n}}}$  

Vamos a calcular el intervalo de confianza de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolas con los subíndices 1, 2 y 3:  

Sean: t975 2,447  

$IC_{1}~=~(1,042)~\pm~\frac{(0,032)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,042~\pm~0,030\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{1}~=~1,012~\leq~\overline{x}~\leq~1,072}$  

$IC_{2}~=~(1,090)~\pm~\frac{(0,050)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,090~\pm~0,046\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{2}~=~1,044~\leq~\overline{x}~\leq~1,136}$  

$IC_{3}~=~(1,102)~\pm~\frac{(0,045)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,102~\pm~0,042\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{3}~=~1,060~\leq~\overline{x}~\leq~1,144}$  

A partir del valor de densidad obtenido en el ejercicio anterior, calcule el valor relativo teniendo en cuenta que la densidad exacta para la muestra es 1,05 g/mL y realice un análisis de acuerdo a las diferencias entre errores y dispersión que los datos brinda.

El valor relativo es el valor calculado entre el valor real.  

Vamos a calcular el valor relativo de la densidad de glucosa (VG) para cada picnómetro, denotándolos con los subíndices 1, 2 y 3:  

$\bold{\overline{VG_{1}}~=~\frac{1,042}{1,05}\cdot 100~=~99,24^{o}/_{o}}$  

$\bold{\overline{VG_{2}}~=~\frac{1,090}{1,05}\cdot 100~=~103,81^{o}/_{o}}$  

$\bold{\overline{VG_{3}}~=~\frac{1,102}{1,05}\cdot 100~=~104,95^{o}/_{o}}$  

En las tres muestras, las desviaciones estándar y los coeficientes de variación son bastante bajos, lo cual implica que los datos son poco dispersos; es decir, están concentrados alrededor de la media y que los errores de medida y estimación cometidos son bastante pequeños y, por ende, tolerables.  

¿Cuáles son los criterios para determinar la cantidad de muestras para un análisis?

La variabilidad de los datos y el error de estimación son los criterios más importantes para la definición de la cantidad de muestras, siendo esta última cada vez más grande en la medida en que los dos primeros son mayores.  

¿ Que consideraciones se deben tener en cuenta en la toma de una muestra?  

El procedimiento seguido debe ser siempre el mismo, bajo las mismas condiciones y por el mismo investigador; así se intenta garantizar que la variación que exista entre resultados de distintas muestras sea precisamente la que se quiere determinar en el experimento y no un sesgo por mala práctica experimental.