Question

Un transbordador para pasajeros viaja desde una población hasta una isla que dista 7 millas de aquella y está a 3 millas en línea recta de la playa. Según se muestra en la figura 1, el transbordador navega a lo largo de la playa hasta algún punto y luego avanza directamente hacia la isla. Si el transbordador navega a 12 mph a lo largo de la playa y a 10 mph cuando se interna en el mar. ¿Determina las rutas que tienen un tiempo de recorrido de 45 minutos?

Answer 1

Las rutas posibles son: que el transbordador puede navegar a la orilla de la playa 3 millas o 22/11 de milla antes de avanzar hacia la isla

Para esto consideramos lo siguiente:

x es la distancia recorrida a lo largo de la línea de  la costa.

d es la distancia de un  punto en la línea de la costa a la isla

De acuerdo al teorema de pitágoras:

$d^{2} = (7-x)^{2} + 3^{2} \\d^{2} = 49 - 14 x + x^{2} + 9\\d^{2} = x^{2} - 14x + 58\\d = \sqrt{x^{2} - 14x + 58}$

Ahora consideramos la fórmula de la velocidad y despejamos el tiempo:

Velocidad = distancia / tiempo

tiempo = distancia / velocidad

                   a lo largo de la costa       alejándose de la costa

distancia                     x                              $\sqrt{x^{2}-14x+58 }$

velocidad                12 mph                                 10 mph

tiempo                       $\frac{x}{12}$                                     $\frac{\sqrt{x^{2}-14x+58 }}{10}$

Consideramos ahora que los 45 minutos representan 3/4 de hora, así el tiempo para el viaje es el siguiente:

$\frac{x}{12} + \frac{\sqrt{x^{2}-14x + 58 } }{10} = \frac{3}{4}\\ \frac{\sqrt{x^{2}-14x + 58 } }{10} = \frac{3}{4} - \frac{x}{12}$

Multiplicamos por el mcd que es 60

$6\sqrt{x^{2}-14x + 58 } = 45 - 5x\\6\sqrt{x^{2}-14x + 58 } = 5 (9-x)$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación

$36 (x^{2}-14x + 58) = 25 (9-x)^{2} \\36x^{2} -504x + 2088 = 2025 - 450x + 25x^{2} \\11x^{2} -54x + 63 = 0$

Factorizamos

(x-3) (11x-21) = 0

Aplicamos el teorema del factor cero

x-3 = 0          11x - 21 = 0

x = 3               x = 21/11

Por tanto, hay dos posibles rutas con un tiempo de viaje de 45  minutos: el transbordador puede navegar a lo largo de la orilla ya sea 3 millas o  21/11 antes de partir a la isla