Question

Las medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo son tres números pares consecutivos. Halla estos elementos.

Answer 1

Respuesta:

Para dar respuesta a este ejercicio, tomamos en cuenta que la diagonal de este rectángulo forma dos triángulos rectángulos iguales. Tomando sólo uno de estos triángulos para el análisis del ejercicio, aplicamos el Teorema de Pitágoras.

Explicación paso a paso:

Los lados del rectángulo se llamarán $a$ y $b$, mientras que la diagonal se llamará $c$.

Del Teorema de Pitágoras sabemos que $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Un dato del ejercicio indica que los lados y la diagonal son números pares consecutivos, esto significa que:

$(2) b = a + 2\\(3) c = b + 2 = a + 4$

Si sustituímos estas igualdades en el Teorema de Pitágoras, y desarrollando los binomios al cuadrado resultantes, obtendremos una ecuación cuadrática con una sola variable, como sigue:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

$(a+4)^{2} = a^{2} + (a+2)^{2} \\a^{2} + 8a + 16 = a^2 + (a^2 + 4a + 4)\\a^2 + 8a + 16 = 2a^2 + 4a + 4\\0 = 2a^2 + 4a + 4 - a^2 - 8a - 16\\0 = a^2 - 4a - 12$

Los factores que dan solución a esta ecuación cuadrática son los siguientes:

$a^2 - 4a - 12 = 0\\(a-6)(a+2) = 0\\a_{1} =6\\a_{2} = -2$

Sabemos que los lados de un rectángulo no pueden ser negativos, por lo que desechamos la solución $a_{2} = -2$

Sustituyendo en valor de $a_{1} = 6$, en las ecuaciones (2) y (3), obtendremos los valores de $b$ y $c$.

$(2) b = a + 2 = 6 + 2\\b = 8\\\\(3) c = a + 4 = 6 + 4\\c = 10$

Por lo tanto, los lados del rectángulo son 6 y 8 y la diagonal tiene un valor de 10.