Question

Una empresa maderera arroja diariamente material de desecho según la función:
P(t) = 0.01t^3 - 0.2t^2 + t + 1 Siendo P la cantidad de material en kilogramos y t la hora del día entre 8 <_ t <_ 20. En qué momento del día aumenta la cantidad de material que arroja? En cuál disminuye? Hallar la cantidad máxima de material que arroja y a qué hora se produce eso?

Answer 1

La cantidad de material de desecho arrojado disminuye a partir de las 8 hasta las 10 horas y de allí en adelante aumenta hasta alcanzar la máxima cantidad de material de desechos arrojada a las 20 horas, extremo superior del intervalo definición, en la cual se desechan 21 kg de material.

Explicación paso a paso:

Los valores máximos y mínimos de una función acotada se obtienen evaluando los extremos del intervalo definición y usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  Además nos apoyaremos en la figura anexa.

1. Extremos del intervalo definición

Evaluamos la función P cuando t = 8 y t = 20

P₍₈₎  =  0.01(8)³  -  0.2(8)²  +  (8)  +  1  =  1.32  kg de desechos

P₍₂₀₎  =  0.01(20)³  -  0.2(20)²  +  (20)  +  1  =  21  kg de desechos

2. Extremos relativos de P usando criterios de primera y segunda derivada

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de    t.

$P'=(0.01t^{3}-0.2t^{2}+t+1)'=0.03t^{2}-0.4t+1$

$P'=0 \quad \Rightarrow \quad 0.03t^{2}-0.4t+1=0\quad \Rightarrow \quad t=3.33~\edge~t=10$

t  =  10 es el punto crítico o posible extremo de la función a considerar, pues  t  =  3.33  está fuera del intervalo definición.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$P''=(0.03t^{2}-0.4t+1)''=0.06t-0.4$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$P''_{(10)}=0.06(10)-0.4>0\qquad \Rightarrow \qquad$  

t  =  10       es un mínimo de la función  P.

Cuarto, evaluamos la función en el valor mínimo de    t    y obtenemos el valor mínimo de    P.

P₍₁₀₎  =  0.01(10)³  -  0.2(10)²  +  (10)  +  1  =  1  kg de desechos

Ahora estamos en posición de responder las preguntas formuladas:

¿En qué momento del día aumenta la cantidad de material que arroja?

La cantidad de material de desecho arrojado aumenta a partir de las 10 horas.

¿En cuál disminuye?

La cantidad de material de desecho arrojado disminuye a partir de las 8 hasta las 10 horas.

Hallar la cantidad máxima de material que arroja y ¿a qué hora se produce eso?

La máxima cantidad de material de desechos arrojada se produce a las 20 horas, extremo superior del intervalo definición, en la cual se desechan 21 kg de material.