Question

1) El ángulo interior de un polígono regular mide 156°, determina:
a) el número de lados
b) El número total de diagonales
c) El valor de cada ángulo exterior


2) ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales desde todas sus vértices?



3) el ángulo exterior de un polígono regular mide 95°, halla:
a) el número de lados
b) la suma de los ángulos interiores
c) El número total de diagonales
d) la medida de cada ángulo interior.


(Por favor que sea paso a paso c':)

Answer 1

Respuesta:

1) a) 15 lados b) 90 diagonales c) 24°

2) 7 lados

3) a) 3,789473684 lados b) 322°6'18,95'' c) 1,495844875 diagonales d) 85°

No estoy muy seguro de que el 3) este bien, pero son los resultados que me dieron suponiendo que el angulo exterior sea de 95°

Explicación paso a paso:

En el punto 1) es tan sencillo como aplicar formulas.

Al tener el angulo interior (156°) para hallar la cantidad de lados del polígono se aplica la siguiente formula:

Angulo central = 180° - 156° = 24°

Y con ese angulo central usamos la formula para sacar el angulo central, pero como ya tenemos el angulo central entonces vamos a despejar en función de n, donde n, representa la cantidad de lados.

$\frac{360}{n}$ = angulo central

$\frac{360}{n}$ = 24°

$n=\frac{360}{24}$  

$n=15$ (la cantidad de lados del polígono en cuestión)

Para hallar el numero de diagonales también se aplica una formula:

$Diagonal = \frac{n (n - 3)}{2}$

n = cantidad de lados

Entonces reemplazamos con los valores obtenidos anteriormente

$Diagonal = \frac{15(15 - 3)}{2}$ y esto nos da como resultado 90 y ese es el numero de diagonales.

El angulo exterior es lo mismo que el angulo central, así que ya esta calculado.

Para el segundo problema hay que aplicar la formula de la diagonal

$Diagonal = \frac{n (n - 3)}{2}$

Pero en este caso ya nos dan la cantidad de diagonales del polígono, entonces lo que hay que hacer es despejar en función de n (cantidad de lados)

$14 = \frac{n (n - 3)}{2}$

Luego pasamos el 2 que esta dividiendo del otro lado del igual multiplicando

$14*2 = n (n - 3)$

$28 = n (n - 3)$

Ahora aplicamos distributiva en función de n quedando:

$28 = n^{2} -3n$

Y pasamos el 28 del otro lado del igual restando

$0= n^{2} -3n-28$

Quedando una típica ecuación de segundo grado, para finalizar solo nos queda factorizarla y elegir el valor de n positivo (se elige el valor positivo ya que al tratarse de lados lógicamente no pueden ser negativos), entonces para factorizarla habría que poner entre 2 dos paréntesis la raíz cuadrada del primer termino (en este caso $n^{2}$), luego debemos aplicar la regla de los signos entre los términos, osea + * - = - y - * - = + y por ultimo debemos encontrar dos números que al multiplicarse nos den como resultado -28 y que sumados nos den como resultado -3 y de esta manera nos debería quedar así: $(n-7)(n+4)$ y acá básicamente igualaríamos los dos factores a 0, osea:

$n-7 = 0$

$n = 7$

El otro factor ($n+4$) al igualarlo a 0 nos va a dar un valor negativo, por ende no es una respuesta valida así que se descarta.

Dándonos como resultado que 7 es la cantidad de lados que tiene el polígono

Por ultimo el punto 3 solo hay que aplicar las formulas de antes.

$\frac{360}{n}$ = 95°  y despejamos en función de n como hicimos en el primer punto daría como resultado 3,789

Después el punto b) nos pide la suma de los ángulos interiores que se resuelve con la siguiente formula:

$180(n-2)$

Entonces reemplazamos con el valor obtenido anteriormente (3,789) el cual es un valor aproximado ya que es la división de $\frac{360}{95}$ . Acá es sumamente importante que usemos una calculadora científica.

$180(3,789-2)$

Si usamos el valor exacto de $\frac{360}{95}$ nos va a dar un resultado mas preciso, entonces al resultado (que es aproximadamente 322,2) con la calculadora científica apretamos la tecla con el símbolo .,,, para que se nos pase a grados minutos y segundos, y nos quedaría 322°6'18,95''

Para calcular el total de diagonales hay que aplicar la formula ya mencionada al principio.

$Diagonal = \frac{n (n - 3)}{2}$

Y al reemplazar y hacer la cuenta nos debería dar como resultado aproximadamente 1,49.

Y para finalizar el punto d) que nos pide la medida de cada angulo interior se utiliza la siguiente formula

$\frac{180(n-2)}{n}$

Al reemplazar los valores por los que ya obtuvimos anteriormente nos debería dar como resultado que la medida de cada angulo interior es de 85° .

Espero haberte ayudado!