Question

Un circuito consta de R= 52, C= 20 µF y la fem de 12 V. Después de que se cierra el interruptor a) Cuál es la carga máxima sobre el capacitor?. b) Después de cuanto tiempo, luego de que se cierra el interruptor el capacitor tendrá una carga de 80 % de su carga máxima.​

Answer 1

El capacitor de este circuito queda después del transitorio con una carga de 240uC tardando 1,67ms en alcanzar una carga del 80% de su valor máximo luego de conectado el circuito.

Explicación:

Si el circuito está en serie, tenemos que el capacitor irá cargándose gradualmente, tiempo durante el cual absorve corriente de la fuente, hasta cargarse por completo, momento en el cual la corriente se anula.

a) Si pasado el transitorio se anula la corriente, toda la tensión de la fuente cae sobre el capacitor, el cual queda con una carga equivalente a:

$Q=E.C=12V.20\mu F\\\\Q=240\mu C$

b) Para este caso hay que hallar la ecuación que modela la evolución de la carga en el capacitor, para lo cual tenemos:

$E=iR+\frac{1}{C}\int\limits^t_0 {i} \, dt \\\\E=R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}$

Derivando en ambos miembros podemos resolverla por el método de coeficientes constantes:

$0=R\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{1}{C}\frac{dQ}{dt}\\\\0=\frac{d^2Q}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{dQ}{dt}\\\\Q=e^{\alpha.t}=>\alpha^2e^{\alpha.t}+\frac{1}{RC}\alpha e^{\alpha.t}=0\\\\\alpha^2+\frac{1}{RC}\alpha=0\\\\\alpha=0\\\\\alpha=-\frac{1}{RC}\\\\Q(t)=C_1+C_2e^{-\frac{t}{RC}}$

Si consideramos la carga del capacitor inicialmente nula y que al final del transitorio se establece en Q=E.C, tenemos:

$Q(t)=EC(1-e^{\frac{t}{RC}})$

Con lo cual el 80% de la carga máxima equivale a lo siguiente:

$0,8EC=EC(1-e^{-\frac{t}{RC}})\\\\0,8=1-e^{-\frac{t}{RC}}\\\\-\frac{t}{RC}=ln(0,2)\\\\t=-RC.ln(0,2)=52\Omega.20\mu F.ln(0,2)\\\\t=1,67ms$