Question

Considere la siguiente situación. Se requiere determinar la densidad de una muestra de glucosa a 1% para la cuantificación de glucosa en un alimento, para lo cual se usó tres picnómetros de 5 mL realizándose la medida tanto del picnómetro vacío como lleno con la muestra de glucosa, obteniéndose los siguientes valores:
Densidad (g/ml) Densidad (g/ml) Densidad (g/ml)
1,025 1,105 1,103
1,045 1,150 1,150
1,025 1,031 1,035
1,027 1,047 1,045
1,030 1,130 1,132
1,113 1,037 1,112
1,026 1,129 1,136


Calcule:
a. La densidad de la muestra de glucosa al 1% por cada picnómetro
b. Desviación estándar
c. Coeficiente de variación
d. El intervalo de confianza empleando t-student con un nivel de confianza de 95%

Answer 1

A continuación realizaremos los cálculos de estadística descriptiva e inferencial solicitados para cada picnómetro:

Explicación paso a paso:

a. La densidad de la muestra de glucosa al 1% por cada picnómetro

La media es el promedio de los valores de una variable, es la suma de los valores dividido por el número de valores involucrados.  

$\bold{\overline{x}~=~\frac{(x_{(1)}~+~x_{(2)}~+~...~+~x_{(n)})}{n}}$

Vamos a calcular la media de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolos con los subíndices 1, 2 y 3:

$\overline{x_{1}}=\frac{(1,025+1,045+1,025+1,027+1,030+1,113+1,026)}{7}=1,042$

$\overline{x_{2}}=\frac{(1,105+1,150+1,031+1,047+1,130+1,037+1,129)}{7}=1,090$

$\overline{x_{3}}=\frac{(1,103+1,150+1,035+1,045+1,132+1,112+1,136)}{7}=1,102$

b. Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la Varianza muestral. Esta última es el promedio de los desvíos, con respecto a la media, al cuadrado:

$\bold{s~=~\sqrt{s^{2}}~=~\sqrt{\frac{(x~-~\overline{x})^{2}}{n~-~1}}}$  

Vamos a calcular la desviación estándar de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolas con los subíndices 1, 2 y 3:

$s_{1}=\sqrt{\frac{(1,025-1,042)^{2}+(1,045-1,042)^{2}+…+(1,026-1,042)^{2}}{7-1}=0,032$  

$s_{2}=\sqrt{\frac{(1,105-1,090)^{2}+(1,150-1,090)^{2}+…+(1,129-1,090)^{2}}{7-1}=0,050$  

$s_{3}=\sqrt{\frac{(1,103-1,102)^{2}+(1,150-1,102)^{2}+…+(1,136-1,102)^{2}}{7-1}=0,045$  

c. Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es una medida de la magnitud de la variabilidad en relación con la media.  

$\bold{CV(^{o}/_{o})~=~\frac{s}{\overline{x}}\cdot 100^{o}/_{o}}$  

Vamos a calcular el coeficiente de variación de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolos con los subíndices 1, 2 y 3:

$CV_{1}~=~\frac{0,032}{1,042}\cdot 100~=~3,07 ^{o}/_{o}$  

$CV_{2}~=~\frac{0,050}{1,090}\cdot 100~=~4,59^{o}/_{o}$  

$CV_{3}~=~\frac{0,045}{1,102}\cdot 100~=~4,08^{o}/_{o}$  

d. El intervalo de confianza empleando t-student con un nivel de confianza de 95%

El intervalo de confianza al 95% se calcula por medio de la fórmula:

$\bold{IC_{\mu(1-\alpha)^{o}/_{o}}~=~\overline{x}~\pm~\frac{s\cdot t_{1-\frac{\alpha}{2};~(n-1)gl}}{\sqrt{n}}}$  

Vamos a calcular el intervalo de confianza de la densidad de glucosa para cada picnómetro, denotándolas con los subíndices 1, 2 y 3:

$IC_{1}~=~(1,042)~\pm~\frac{(0,032)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,042~\pm~0,030\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{1}~=~1,012~\leq~\overline{x}~\leq~1,072}$  

$IC_{2}~=~(1,090)~\pm~\frac{(0,050)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,090~\pm~0,046\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{2}~=~1,044~\leq~\overline{x}~\leq~1,136}$  

$IC_{3}~=~(1,102)~\pm~\frac{(0,045)\cdot(2,447)}{\sqrt{7}}~=~1,102~\pm~0,042\qquad\Rightarrow$  

$\bold{IC_{3}~=~1,060~\leq~\overline{x}~\leq~1,144}$