Question

Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo.
Ejercicio e.

Calcular la siguiente integral definida,

∫_0^(π/2)▒(1-〖tan〗^2 (x))/(〖sec〗^2 (x)) dx

Answer 1

El valor de esa integral es 0

Para poder ver esto, debemos recordar ciertas identidades trigonométricas:

1.- $cos^2(x) - sen^2(x) = cos(2x)$

2.- $\frac{tan(x)}{sec(x)} = sen(x)$

3.- $\frac{1}{sec(x)} = cos(x)$

Por lo tanto, ya podemos empezar a simplificar la expresión de la siguiente manera

$\frac{1 - tan^2(x)}{sec^2(x)} = \frac{1}{sec^2(x)} - \frac{tan^2(x)}{sec^2(x)} = (\frac{1}{sec(x)} )^2 - (\frac{tan(x)}{sec(x)})^2$

Como vemos, la primera parte es cos²(x) y la otra es sen²(x), por lo que se tiene

$\frac{1 - tan^2(x)}{sec^2(x)} = cos^2(x) - sen^2(x) = cos(2x)$

Y por consecuencia, la integral queda como

$\int_0^{\pi/2} {cos(2x)} \, dx = \frac{1}{2}( sen(2\frac{\pi}{2}) - sen(2\times 0)) = 0$

Como se ve, la integral es cero