Question

En el triángulo rectángulo ABC de la figura, el cateto AB tiene de longitud 3. Por el punto P trazamos una paralela a BC que corta a la hipotenusa AC en el punto Q. Si el área del trapecio PBCQ es el doble que el área del triángulo PQA, entonces la longitud de AP es:

Answer 1

Llamemos b₁ al lado AP y b₂ al lado AB. También llamemos h₁ al lado QP y h₂ al lado CB.

Si PBCQ es el doble de PQA, entonces el área de ABC es el triple de PQA.

Luego:

$3A_{PQA}=A_{ABC}\\\\3\frac{b_1*h_1}{2}=\frac{b_2*h_2}{2} \\\\3b_1*h_1=3*h_2\\\\b_1=\frac{h_2}{h_1}$

Por otro lado, tenemos que los triángulos PQA y ABC son semejantes, por ende:

$\frac{b_1}{h_1} =\frac{b_2}{h_2} \\\\b_1=3\frac{h_1}{h_2}$

Si igualamos ambas ecuaciones de b₁:

$b_1=b_1\\\\\frac{h_2}{h_1}=3\frac{h_1}{h_2} \\\\h_2^2=3h_1^2\\\\h_2=\sqrt{3} h_1$

Por último, reemplazando:

$b_1=\frac{h_2}{h_1}=\frac{\sqrt{3}h_1 }{h_1} =\sqrt3$

Siendo entonces el valor de AP igual a √3

Saludos.