Respuestas
No hay números que cumplan las tres condiciones planteadas al mismo tiempo.
Explicación paso a paso:
Si la suma de los cuadrados de las centenas y de las unidades es 20, tenemos como primera pista que ninguna de las dos puede ser mayor que 4. Esto solo será cierto si esos números son 2 y 4, así que los números buscados tienen 2 como unidad y 4 como centena o viceversa. Esto lo obtenemos restandole a 20 los cuadrados perfectos menores a 20 (1,4,9,16) y viendo si el resultado es también cuadrado perfecto.
Con las otras dos cifras hacemos lo propio, a 80 le restamos los cuadrados perfectos menores a él. Viendo que es 80-64=16. Con lo cual las otras dos cifras tienen que ser 4 y 8, es decir tienen como unidad de mil 4 y decena 8 ó viceversa.
Las posibilidades son entonces: 4284, 4482, 8244, 8442.
A cada uno de ellos le restamos lo que resulta de invertir el orden de sus cifras:
4284-4824=-540, no es múltiplo de 19.
4482-2844=1638, no es múltiplo de 19 (se puede comprobar porque su mitad es 819, el cual claramente no es múltiplo de 19 ya que si le restamos 19 da 800 que no es divisible por 19.).
8244-4428=3816, no es múltiplo de 19, esto se puede comprobar restándole 3800 (múltiplo de 19 más cercano), se obtiene 16 que claramente no es múltiplo de 19.
8442-2448=5994, no es múltiplo de 19, se comprueba si se resta 5700, obteniendose 294 que tiene como divisores 1, 2, 3, 6, 7, 49.