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Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a
razón de 100cm . ¿Con que rapidez crece el radio del globo cuando el diámetro es de 50
cm?
Respuestas
Explicación paso a paso:
La rapide con la que aumenta el volumen de un globo se expresa con una derivada.
\frac{dv}{dt} = 100( \frac{cm3}{s} )
dt
dv
=100(
s
cm3
)
La ecuacion del volumen del globo si se considera que es esferico.
v = \frac{4}{3} \pi {r}^{3}v=
3
4
πr
3
Si derivamos a ambos lados de la ecuacion
\begin{gathered} \frac{dv}{dt} = \frac{4}{3} \pi \frac{d}{dt} ( {r}^{3} ) \\ 100 = \frac{4}{3} \pi \times 3 {r}^{2} \frac{dr}{dt} \end{gathered}
dt
dv
=
3
4
π
dt
d
(r
3
)
100=
3
4
π×3r
2
dt
dr
donde dr/dt es la rapidez con la aumenta el radio del globo. y r es el radio inicial del globo, solomanete hace falra despejar
\begin{gathered}100 = 4\pi {( \frac{50}{2} )}^{2} \frac{dr}{dt} \\ \frac{dr}{dt} = 7853.975( \frac{cm}{s} )\end{gathered}
100=4π(
2
50
)
2
dt
dr
dt
dr
=7853.975(
s
cm
)
El radio por unidad de tiempo crece a razón de ∛(r³+ 75 cm³/π) = r1
Tenemos que el volumen del globo aumenta a razón de 100 cm³, entonces tenemos que el volumen por cada unidad de tiempo t aumenta 100 cm³, luego el volumen de la esfera es:
V = 4/3*π*r³
So aumenta 100 cm³ será V + 100 cm³ y su nuevo radio r1
V + 100 cm³ = = 4/3*π*(r1)³
4/3*π*r³ + 100 cm³ = = 4/3*π*(r1)³
r³ + 75 cm³/π = r1³
∛(r³+ 75 cm³/π) = r1
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