Question

Determina si la integral impropia es convergente o divergente. Si es
convergente, evalúala

Answer 1

Se conoce como integral impropia a aquella integral definida que no cumple con las condiciones del teorema fundamental del cálculo para su solución.

Desarrollo de la respuesta:

El teorema fundamental del cálculo, para la solución de una integral definida, requiere que ella esté definida en un intervalo acotado y que el integrando sea continuo en dicho intervalo.

Cuando una o ambas condiciones no se cumplen, la integral se conoce como impropia y no tiene solución exacta.  

Usando límites es posible intentar aproximarla a una integral definida lo más parecida a la integral original. Si esta aproximación es posible, se dice que la integral impropia converge, en caso contrario diverge.

En el caso estudio, el intervalo de integración es no acotado por la izquierda, por lo que se está en presencia de una integral impropia de primera clase:

$\int\limits^0_{-\infty} e^{x+1}\,dx~=~ \lim_{b\to-\infty}\int\limits^0_{b} e^{x+1}\,dx\qquad\Rightarrow$

$\int\limits^0_{-\infty} e^{x+1}\,dx~=~ \lim_{b\to-\infty}(e^{x+1}|^0_b)~=~ \lim_{b\to-\infty}(e^{0+1}~-~e^{b+1})~=~e$

La integral converge y el resultado se puede interpretar como el valor aproximado al que tiende el área encerrada por la curva y el eje  x  negativo.

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