Question

Encontrar las curvas, para las cuales, el área del triangulo limitado por la recta tangente, la vertical que pasa por el punto de tangencia y el eje de la x, es de magnitud constante igual a S^2

Answer 1

Las funciones que cumplen con la proposición planteada tienen la ecuación:

$y=-\frac{2S^2}{x+C}$

Explicación paso a paso:

La recta tangente de una función tiene como pendiente la derivada de la función en ese punto, si buscamos el área del triángulo que forma con la vertical que pasa por el punto de tangencia y el eje horizontal tenemos la situación de la imagen adjunta donde es:

$\frac{\Delta y.\Delta x}{2}=S^2\\\\\Delta x \Delta y=2S^2$

Pero la altura del triángulo no es otra cosa que el valor de la variable 'y' quedando:

$\Delta x.y=2S^2$

Y la base es la diferencia entre la raíz de la recta y el valor de la variable x, la ecuación punto pendiente de la recta tangente es:

$y-y_0=\frac{dy}{dx}(x-x_0)$

Si hacemos y=0 en esta expresion hallamos la raíz de la recta tangente:

$0=\frac{dy}{dx}(x-x_0)+y_0\\\\-\frac{y_0.dx}{dy}+x_0=x$

En esta expresión x0 e y0 son las coordenadas del punto de tangencia, por ende la base del triángulo es:

$\Delta x=x_0+\frac{y_0.dx}{dy}-x_0=\frac{y_0.dx}{dy}$

y0 es también el valor de la variable 'y' por lo que el área queda:

$y^2\frac{dx}{dy}=2S^2\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{2S^2}$

Con lo cual ahora no hay más que resolver la ecuación por separación de variables:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{2S^2}\\\\\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{2S^2}\\\\\int\limits^{}_{} {\frac{1}{y^2}} \, dy=\int\limits^{}_{} {\frac{1}{2S^2}} \, dx \\-\frac{1}{y}+C_1=\frac{x}{2S^2}+C_2\\\\y=-\frac{1}{\frac{x}{2S^2}+C}=\frac{2S^2}{x+C}$