Question

Algunos equipos de tres jugadores se inscribieron en un torneo de ajedrez. Cada jugador de cada equipo jugó exactamente una vez contra cada jugador de los otros equipos. Por razones organizativas, no se pueden jugar más de 250 partidas en total
¿Cual es el número máximo de equipos que se pueden anotar en el torneo?

Answer 1

Combinatoria. Combinaciones sin repetición.

Empiezo por deducir datos sobre el texto del ejercicio.

Dice que cada equipo de 3 jugadores juega exactamente una vez contra cada uno de los otros equipos que también están formados por 3 jugadores.

De ahí deducimos que cada vez que se enfrentan dos equipos, se juegan un total de  3×3 = 9 partidas.

Lo explico con un ejemplo:

Tenemos al equipo A que juega contra el equipo B de este modo:

• Jugador 1 del A juega contra el jugador 1 del B
• Jugador 1 del A juega contra el jugador 2 del B
• Jugador 1 del A juega contra el jugador 3 del B
• Jugador 2 del A juega contra el jugador 1 del B
• Jugador 2 del A juega contra el jugador 2 del B
• Jugador 2 del A juega contra el jugador 3 del B
• Jugador 3 del A juega contra el jugador 1 del B
• Jugador 3 del A juega contra el jugador 2 del B
• Jugador 3 del A juega contra el jugador 3 del B

Y compruebo que se juegan 9 partidas, ok?

Aclarado ese punto, ahora vamos a ver cuántos grupos de 9 partidas salen del total pactado del torneo que eran 250 partidas. Para ello divido:

250 ÷ 9 = 27,777... periódico.

Es decir se pueden producir un total de 27 emparejamientos de equipos ya que en cada emparejamiento se jugarán 9 partidas y es obvio que tenemos que rechazar los decimales y aproximar por defecto.

Así pues, esa cantidad de emparejamientos será el total de combinaciones posible a hacer entre todos los equipos participantes, es decir que contamos con los siguiente datos:

• Combinaciones entre equipos participantes = 27 = C
• Equipos que se toman en cada combinación = 2 = n
• Nº de equipos participantes = m = ? (es lo que nos pregunta el problema)

Acudo a la fórmula de este modelo combinatorio que son las combinaciones y serán:

COMBINACIONES (27) DE "m" ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2

La fórmula por factoriales dice:  $C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!}$

Sustituyendo valores ...

$C_m^2=27=\dfrac{m!}{2!*(m-2)!} \ ... desarrollando\ esto...\\ \\ \\ 27=\dfrac{m*(m-1)*(m-2)!}{2!*(m-2)!} \\ \\ \\ 27=\dfrac{m*(m-1)}{2} \\ \\ \\ 54=m*(m-1)\\ \\ m^2-m-54=0$

Resolviendo por fórmula general de ecuaciones de 2º grado...

$m_1=\dfrac{1+14,7}{2} =7,86 =7\ equipos\ completos\ de\ 3\ jugadores$

Al tratarse de equipos completos de 3 jugadores, hemos de aproximar por defecto y quedarnos con solo 7 equipos desechando los decimales.

El otro resultado (m₂) se rechaza por salir negativo y no valernos para la solución del ejercicio puesto que nos pide el nº máximo de equipos que pueden inscribirse en el torneo de modo que el nº máximo de partidas no exceda de 250.

Así pues, el resultado es que pueden inscribirse 7 equipos como máximo para que al realizar las 9 partidas entre cada emparejamiento, el máximo total de partidas no exceda de 250 y es así puesto que si tomamos esa cantidad (7 equipos) como el valor de "m" y aplico de nuevo la fórmula de las combinaciones tenemos esto:

$C_7^2=\dfrac{7!}{2!*(7-2)!}=\dfrac{7*6*5!}{2!*5!}=\dfrac{42}{2}=21\ emparejamientos$

Y  multiplicando por las 9 partidas por emparejamiento:

21×9 = 189 partidas se disputarían en total.

Nota: si el resultado de la ecuación de 2º grado lo tomáramos por exceso y dijéramos que se inscriben 8 equipos, al realizar el cálculo de partidas excederíamos de las 250 máximas que se exigen. Sólo hay que aplicar la fórmula anterior con ese dato cambiado y se comprobaría tal y como lo he comprobado yo.

Saludos.