Question

Una carga Q>0 [C] se distribuye uniformemente sobre todo el alambre que muestra la figura. a) Determine la densidad de carga en todo el alambre. b) Encuentre el campo eléctrico de manera vectorial en el origen de coordenadas c) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico que produce en el origen O de coordenadas.

Answer 1

El campo eléctrico en el origen de coordenadas es $E=\frac{kQ}{2L^2}\frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ con ángulo de 45° en el tercer cuadrante. La distribución de carga es $\lambda=\frac{Q}{(2+\sqrt{2})L}$

Explicación:

Si la carga se distribuye uniformemente en todo el alambre, la densidad lineal de carga es el cociente entre la carga y la longitud del alambre.

a) Tenemos entonces:

$\lambda=\frac{Q}{D}=\frac{Q}{L+L+\sqrt{L^2+L^2}}\\\\\lambda=\frac{Q}{(2+\sqrt{2})L}$

b) Si el alambre se ve como una sucesión de puntos, el tramo vertical va a ejercer un campo eléctrico sobre el origen hacia abajo, el tramo horizontal producirá un campo eléctrico de igual magnitud a la izquierda. La resultante de ambos vectores tiene una dirección de 45° en el tercer cuadrante.

El tramo oblícuo también genera un campo eléctrico con dirección de 45° en el tercer cuadrante debido a que el campo eléctrico sobre O sigue la dirección de la recta perpendicular a él que pasa por el origen.

Así se puede predecir que el campo eléctrico tendrá dirección de 45° en el tercer cuadrante. Con lo que queda:

$E_y=-E_1-E_3.cos(45\°)\\\\E_x=-E_2-E_3.sen(45\°)\\\\E=\sqrt{E_x^2+E_y^2}$

c) Comencemos por el campo eléctrico en el  tramo vertical, como la carga es positiva, las líneas de campo que pasan por O se dirigen hacia abajo en dirección vertical, aplicando la ley de Coulomb queda:

$dE_1=k\frac{dQ}{r^2}j=k\frac{\lambda.dy}{y^2}j$

El campo eléctrico debido al tramo vertical es:

$E_1=k\lambda\int\limits^{2L}_L {\frac{1}{y^2}} \, dy =k\lambda(\frac{1}{L}-\frac{1}{2L})\\\\E_1=\frac{k\lambda}{2L}j$

Ahora el campo eléctrico debido al campo horizontal:

$E_2=k\lambda\int\limits^{2L}_{L} {\frac{1}{x^2}} \, dx \\\\E_2=\frac{k\lambda}{2L}i$

Ahora el tramo oblícuo sigue la recta y=L-x. Hagamos un cambio de coordenadas tomando un origen O' en (L/2,L/2) y un eje x' en la dirección de este tramo. El eje y' pasa por el punto O. La longitud de este tramo es $\sqrt{2}L$ y la distancia de O a O' es $\frac{L}{\sqrt{2}}$

El campo tendrá componentes tangenciales que se anulan mutuamente y componentes perpendiculares al alambre cuya expresión es:

$dE_3=k\frac{\lambda.dx'}{d^2}.sen(\theta)=k\frac{\lambda.dx'}{x'^2+\frac{L^2}{2}}.\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{\sqrt{x'^2+\frac{L^2}{2}}}$

Si integramos esta expresión como en este ejemplo https://brainly.lat/tarea/14078439 tenemos:

$E_3=\frac{k\lambda}{d^2}\frac{L.\sqrt{2}}{\sqrt{1+(\frac{L\sqrt{2}}{2d})^2}}\\\\d=\frac{L}{\sqrt{2}}=>E_3=\frac{2k\lambda}{L^2}\frac{L.\sqrt{2}}{\sqrt{1+(\frac{2L}{2L})^2}}\\\\E_3=\frac{2k\lambda}{L}$

Este es el módulo del campo eléctrico que es perpendicular al alambre, como el alambre forma un ángulo de 45° con la horizontal, este campo eléctrico está en el tercer cuadrante formando un ángulo de 45° con el eje x negativo.

El campo eléctrico total es:

$E_x=-E_2-E_3.cos(45\°)=-\frac{k\lambda}{2L}-\frac{2k\lambda}{L}.\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\E_y=-E_1-E_3.sen(45\°)=-\frac{k\lambda}{2L}-\frac{2k\lambda}{L}.\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\E_x=-\frac{k\lambda(1+2\sqrt{2})}{2L}=\frac{kQ(1+2\sqrt{2})}{2L^2(2+\sqrt{2})}\\\\E_y=-\frac{k\lambda(1+2\sqrt{2})}{2L}=\frac{kQ(1+2\sqrt{2})}{2L^2(2+\sqrt{2})}\\\\E=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=\sqrt{\frac{k^2Q^2(1+2\sqrt{2})^2}{4L^4(2+\sqrt{2})^2}+\frac{k^2Q^2(1+2\sqrt{2})^2}{4L^4(2+\sqrt{2})^2}}$

$E=\frac{kQ}{2L^2}\frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$

Como las componentes horizontal y vertical son iguales, la dirección de este campo eléctrico total es de 45° en el tercer cuadrante.