hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lado del triángulo sus coordenas son A(-1,0),B(2,9/8) y C(5,0
Respuestas
Respuesta:
(x-2)^2 + (y-(25/16))^2=625/256
Explicación paso a paso:
Primero hay que calcular los puntos medios de los vértices mediante la formula del punto medio: (X1 + X2)/2 y (Y1 + Y2)/2.
Los puntos medios son A(1/2, 9/8) B(7/2,9/8) C(2,0). Debido a que los vértices originales ya no los vamos a usar vamos a dejarlos de lado y a usar a los puntos medios como los nuevos vértices. Así que hay que hallar los puntos medios del triángulo que forman.
Son A(5/4) B(11/4,9/16) y C (2,0)
Para resolverlo hay que hallar primero las mediatrices
Las mediatrices son rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de un segmento, los puntos medios ya los tenemos, asi que faltan las pendientes para poder hallar sus ecuaciones. La formula para las pendientes es m=(Y2-Y1)/(X2-X1).
La pendiente AC es -3/4 y la BC es 3/4, ya que las mediatrices son perpendiculares a las rectas sus pendientes son inversas, es decir, sus pendientes son 4/3 y -4/3, ya con esto calculas sus ecuaciones con la forma punto-pendiente: Y-Y1=m(X-X1).
Sus ecuaciones son 4x-3y-53/16=0 y 4x+3y-203/16=0.
Ahora hacemos un sistema de ecuaciones de suma y resta con la ecuaciones de las mediatrices para hallar el donde intersectan, el cual es también el centro de la circunferencia que buscamos.
4x-3y-53/16=0 +
4x+3y-203/16=0
8x-256/16=0
8x=256/16
x=(256/16)/8
x=2
Ahora sustituimos X en una de las ecuaciones de las mediatrices para hallar Y.
4(2)-3y-53/16=0
8-3y-53/16=0
-3y+75/16=0
y=(-75/16)/-3
y=25/16
Ahora conocemos en el centro de la circunferencia C=(h,k) (2,25/16) solo falta hallar su radio, el cual es la distancia que hay del centro a cualquier parte de la circunferencia, es decir calcularemos la distancia del centro a uno de sus vértices, por ejemplo el C.
r^2=(x-h)^2 + (y-k)^2
r^2=(2-2)^2 + (0-25/16)^2
r^2=(0)^2 + (-25/16)^2
r^2=625/256
Ya terminamos ahora solo sustituimos en la ecuación de la circunferencia.
(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2
(x-2)^2 + (y-25/16)^2=625/256
