Question

Sea f(x + y) = f(x) + f(y), para toda x y y. Demuestre que existe un número m, tal que f (t) = mt para todos los números racio- nales t. Sugerencia: primero decida cuánto tiene que valer m. Luego proceda por pasos, iniciando con f (0) = 0, f (p) = mp para un número natural p; f (1/p) = m/p, etcétera.

Answer 1

Veamos una idea de cómo verificarlo. Para más detalles, buscar ecuación funcional de Cauchy.

1°) Observa que:

$f(t)=f(t+0)=f(t)+f(0)\quad\mbox{entonces}\quad f(0)=f(t)-f(t)=0=m\cdot 0$

• Luego, para $t=0$ se cumple lo que queremos sin importar el valor de "m".

2°) Veamos ahora que pasa para un número natural:

       $f(n)=f(1+1+.+1)=\underbrace{f(1)+f(1)+...+f(1)}_{n\mbox{ terminos}}=nf(1)=f(1)\cdot n$

• Luego, para $t\in\mathbb{N}$ se verifica $f(t)=mt$ con $\boxed{m=f(1)}$

3°) Extendamos a un racional que sea cociente de dos naturales "a" y "b":

       $bf(\frac{a}{b})=\underbrace{f(\frac{a}{b})+f(\frac{a}{b})+...+f(\frac{a}{b})}_{b\mbox{ veces}}=f(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+...+\frac{a}{b})=f(b\frac{a}{b})=f(a)$

       tal que $f(\frac{a}{b})=\frac{1}{b}f(a)$.

     Pero "a" es natural, entonces se cumple la regla:

        $f(\frac{a}{b})=\frac{1}{b}f(1)a=f(1)\frac{a}{b}$

• Luego, para $t\in\mathbb{Q}^+$ se verifica $f(t)=mt$  con $\boxed{m=f(1)}$

4°) La extensión a los racionales negativos es inmediata de ver que

       $f(-t)=-f(t)$

    ya que:

       $f(-t)+f(t)=f(-t+t)=f(0)=0$