• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: jonavaldez2209
  • hace 8 años

Sea f(x + y) = f(x) + f(y), para toda x y y. Demuestre que existe un número m, tal que f (t) = mt para todos los números racio- nales t. Sugerencia: primero decida cuánto tiene que valer m. Luego proceda por pasos, iniciando con f (0) = 0, f (p) = mp para un número natural p; f (1/p) = m/p, etcétera.

Respuestas

Respuesta dada por: disaias
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Veamos una idea de cómo verificarlo. Para más detalles, buscar ecuación funcional de Cauchy.

1°) Observa que:

f(t)=f(t+0)=f(t)+f(0)\quad\mbox{entonces}\quad f(0)=f(t)-f(t)=0=m\cdot 0

  • Luego, para t=0 se cumple lo que queremos sin importar el valor de "m".

2°) Veamos ahora que pasa para un número natural:

       f(n)=f(1+1+.+1)=\underbrace{f(1)+f(1)+...+f(1)}_{n\mbox{ terminos}}=nf(1)=f(1)\cdot n

  • Luego, para t\in\mathbb{N} se verifica f(t)=mt con \boxed{m=f(1)}

3°) Extendamos a un racional que sea cociente de dos naturales "a" y "b":

       bf(\frac{a}{b})=\underbrace{f(\frac{a}{b})+f(\frac{a}{b})+...+f(\frac{a}{b})}_{b\mbox{ veces}}=f(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+...+\frac{a}{b})=f(b\frac{a}{b})=f(a)\\

       tal que f(\frac{a}{b})=\frac{1}{b}f(a).

     Pero "a" es natural, entonces se cumple la regla:

        f(\frac{a}{b})=\frac{1}{b}f(1)a=f(1)\frac{a}{b}

  • Luego, para t\in\mathbb{Q}^+ se verifica f(t)=mt  con \boxed{m=f(1)}

4°) La extensión a los racionales negativos es inmediata de ver que

       f(-t)=-f(t)

    ya que:

       f(-t)+f(t)=f(-t+t)=f(0)=0

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