Sea f(x + y) = f(x) + f(y), para toda x y y. Demuestre que existe un número m, tal que f (t) = mt para todos los números racio- nales t. Sugerencia: primero decida cuánto tiene que valer m. Luego proceda por pasos, iniciando con f (0) = 0, f (p) = mp para un número natural p; f (1/p) = m/p, etcétera.
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Veamos una idea de cómo verificarlo. Para más detalles, buscar ecuación funcional de Cauchy.
1°) Observa que:
- Luego, para se cumple lo que queremos sin importar el valor de "m".
2°) Veamos ahora que pasa para un número natural:
- Luego, para se verifica con
3°) Extendamos a un racional que sea cociente de dos naturales "a" y "b":
tal que .
Pero "a" es natural, entonces se cumple la regla:
- Luego, para se verifica con
4°) La extensión a los racionales negativos es inmediata de ver que
ya que:
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