Question

Un alambre de plástico, aislante y recto, mide 8.50 cm de longitud y tiene una densidad de
carga de +175 nC/m, distribuidos uniformemente a lo largo de su longitud. Se encuentra
sobre una mesa horizontal. a) Encuentre la magnitud y la dirección del campo eléctrico que
produce este alambre en un punto que está 6.00 cm directamente arriba de su punto medio.
b) Si el alambre ahora se dobla para formar un círculo que se tiende sobre la mesa, calcule
la magnitud y la dirección del campo eléctrico que produce en un punto que se encuentra
6.00 cm directamente arriba de su centro

Answer 1

Si el alambre está recto, el campo eléctrico en el punto bajo estudio es de 21,4kN/C, si en cambio se dobla formando un anillo el campo pasa a ser de 34,5kN/C, en ambos casos el campo eléctrico es perpendicular al plano del alambre y se aleja de este.

Explicación:

a) Para encarar el problema se puede considerar el alambre como una sucesión de puntos con carga eléctrica dQ a los que se aplica la ley de Coulomb.

$dE=k\frac{dQ}{r^2}$

O poniendo esta expresión en función de la densidad lineal de carga:

$dE=k\frac{\lambda dl}{r^2}$

Por encima del punto medio del alambre voy a tener una distancia a cada punto que sigue la identidad pitagórica y una componente perpendicular y una componente paralela al alambre:

$dE_p=k\frac{\lambda dl}{d^2+l^2}.cos(\theta)=k\frac{\lambda dl}{d^2+l^2}.\frac{l}{\sqrt{l^2+d^2}}\\\\dE_t=k\frac{\lambda dl}{d^2+l^2}.sen(\theta)=k\frac{\lambda dl}{d^2+l^2}\frac{d}{\sqrt{l^2+d^2}}$

Ahora las componentes del campo se calculan integrando el diferencial de campo, tomamos como origen de coordenadas el punto medio del alambre:

$E_p=\int\limits^{l/2}_{-l/2}{k\frac{l\lambda}{(l^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dl \\\\u=l^2=>E_p=\int\limits^{l^2/4}_{l^2/4}{k\frac{\lambda}{2(u+d^2)^{\frac{3}{2}}}} \, du=0$

La componente paralela es nula, el campo eléctrico es perpendicular al alambre y como este está cargado positivamente las líneas de campo se alejan de él.

$E_t=k\lambda.d\int\limits^{L/2}_{-L/2}{\frac{1}{(d^2+l^2)^{\frac{3}{2}}}} \, dl =k\lambda.d\int\limits^{L/2}_{-L/2}{\frac{1/d^2}{(1+\frac{l^2}{d^2})^{\frac{3}{2}}}} \, dl \\\\\frac{l}{d}=tan(u)=>E_t=\frac{k\lambda}{d}\int\limits^{L/2}_{-L/2} {\frac{1}{(1+tan^2(u))^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{cos^2(u)} \, du \\\\E_t=\frac{k\lambda}{d}.(\frac{L/2d}{\sqrt{1+(l/2d)^2}}-\frac{-L/2d}{\sqrt{1+(-L/2d)^2}})\\\\E_t=\frac{k\lambda}{d}\frac{L/d}{\sqrt{1+(L/2d)^2}}$

$E_t=\frac{9\times 10^{9}.1,75\times 10^{-7}}{0,06m}\frac{0,085m/0,06m}{\sqrt{1+(\frac{0,085m}{0,06m.2})^2}}\\\\E_t=21,4\frac{kN}{C}$

b) Ahora si el mismo alambre se dobla formando un círculo, se aplica la ley de Coulomb a cada punto para hallar el campo eléctrico sobre el centro, las componentes horizontales se anulan mutuamente por lo qeu solo hallamos las verticales:

$dE=k\frac{\lambda dl}{r^2}.sen(\theta)=k\frac{\lambda dl}{R^2+d^2}\frac{d}{\sqrt{R^2+d^2}}$

El punto bajo estudio equidista de cada punto del círculo por lo que se integra a lo largo de L:

$E=\frac{k\lambda.d}{(R^2+d^2)^{\frac{3}{2}}}\int\limits^L_0 {} \, dl \\\\E=\frac{k\lambda.d.L}{(d^2+(\frac{L}{2\pi})^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{9\times 10^{9}.1,75\times 10^{-7}.0,06.0,085}{(0,06^2+(\frac{0,085}{2\pi})^2)^\frac{3}{2}}\\\\E=34,5\frac{kN}{C}$