Question

Determinará el valor promedio de una función utilizando la metodología de las integrales.
a) Si f(x)=2+x-x2 hallar el valor(es) de c entre 0 y 3 tal que f(c) sea igual al valor promedio de f(x) en [0,3).
b) Hallar el valor promedio de la función f(x)= a +b cos(x) en él intervalo - π<+ π •

Answer 1

Se determina el valor promedio de las funciones en los intervalos dados haciendo uso del teorema de valor medio. La primera función el valor medio es 0.5 y La segunda función es a

Por teorma de valor medio: el valor de una función f(x) en promedio en un intervalo [a,b] es igual a:

$(\frac{1}{b-a})*\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

Se pueden realizar la integral en todo el intervalo a pesar que sea abierto o cerrado pues un punto no es relevante.

Entonces el valor promedio de la función f(x) = 2 + x - x² dada en [0,3):

$(\frac{1}{3-0})*\int\limits^3_0 {2 + x - x^{2} } \, dx$

$= (\frac{1}{3})*(2x + 0.5*x^{2} - x^{3}/3) |^{3}_{0} = (\frac{1}{3})*(6 + 0.5*9 - 27/3 - 0)\\= 2 + 0.5*3 - 3 = 0.5$

El valor promedio de (a + b*cos(x)) en  - π < x < π:

$(\frac{1}{\pi-(-\pi) })*\int\limits^\pi_ {-\pi} {(a +b*cos(x))} \, dx$

$(\frac{1}{2\pi})*(a*x + b*sen(x))|^{\pi}_{-\pi} = (\frac{1}{2\pi})*(a\pi + 0 - (-a\pi + 0)) =\\\\= (\frac{1}{2\pi})*(2a\pi) = a$