Question

El cable coaxial RG58 tiene una radio de la malla de 3.1 [mm], impedancia característica de Z0=75 [ohms], y las ondas se propagan a una velocidad de v= 0.66 c, donde c=3x10^8 [m/s], opera a una frecuencia de 100 [MHz], la atenuación es de 11.5 [dB] cada 100 [m]. Calcular:
Permitividad del dieléctrico
El radio del conductor en el interior
La inductancia, la capacitancia y resistencia por unidad de longitud.

Answer 1

La permisividad dieléctrica del dieléctrico en el cable coaxial RG58 es 2,3 veces la permisividad del vacío, el radio del conductor central es de 0,46mm, y tiene una inductancia por unidad de longitud de 379nH, una capacitancia por unidad de longitud de 67,34pF y una resistencia por unidad de longitud de 1,98 ohmios.

Explicación:

Si el dieléctrico es considerado como un material paramagnético ideal, su permeabilidad magnética es igual a la del vacío, por lo que su velocidad de propagación será igual a:

$v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon.\mu_0}}\\0,66c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon.\mu_0}}\\\\\frac{0,66}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon.\mu_0}}\\\\\frac{0,66}{\sqrt{\epsilon_0}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\epsilon_r}}\\\\\epsilon_r=\frac{1}{0,66^2}\\\\\epsilon_r=2,3$

Siendo esta la permitividad dieléctrica relativa del dieléctrico. A su vez otra forma de expresar la velocidad es:

$v=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Y la impedancia característica, suponiendo que el conductor tiene muy baja resistividad y el dieléctrico muy baja conductividad es:

$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}$

De aquí despejamos la inductancia por unidad de longitud, la cual es:

$L=Z_0^2.C$

Lo que reemplazando en la expresión de la velocidad da:

$v=\frac{1}{Z_0.C}\\\\C=\frac{1}{Z_0.v}=\frac{1}{75\Omega.0,66.3\times 10^{8}m/s}\\\\C=67,34pF$

Si el cable se considera un capacitor cilíndrico, despejamos el radio interior de la expresión del capacitor cilíndrico,  considerando que la anterior es la capacitancia por unidad de longitud:

$C=\frac{2\pi.\epsilon.L}{ln(\frac{r_{ext}}{r_{int}})}\\\\ln(\frac{r_{ext}}{r_{int}})=\frac{2\pi\epsilon.L}{C}\\\\r_{int}=r_{ext}.e^{-\frac{2\pi\epsilon.L}{C}}=0,0031m.e^{-\frac{2\pi.2,3.8,85\times 10^{-12.1m}}{6,734\times 10^{-11}F}}\\\\r_{int}=0,46mm$

Ahora la inductancia por unidad de longitud la obtenemos de la expresión que la relaciona con la impedancia característica:

$L=Z_0.C=75\Omega.67,34pF\\\\L=379nH$

Siendo esta la inductancia por unidad de longitud.

Si el cable tiene 11,5dB de atenuación cada 100 metros, y planteamos la ecuación del factor de propagación tenemos:

$\gamma=\sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}=\alpha+j\beta\\\\\gamma=\sqrt{RG+jwLG+jwRC-w^2LC}\\\\RG+jwLG+jwRC-w^2LC=\alpha^2+2j\alpha\beta-\beta^2$

Si suponemos que el diel$R=\sqrt{\frac{4(0,013)^2}{(2\pi.100mHz)^2(67,34pF)^2}((2\pi.100MHz)^2.379nH.67,34pF-(0,013)^2)}\\\\R=1,98\Omega$éctrico es casi ideal tenemos:

$jwRC-w^2LC=\alpha^2+2j\alpha\beta-\beta^2\\\\2\alpha\beta=wRC\\-w^2LC=\alpha^2-\beta^2=\alpha^2-\frac{w^2R^2C^2}{4\alpha^2}\\\\R=\sqrt{\frac{4\alpha^2}{w^2C^2}(\alpha^2+w^2LC)}$

La constante de atenuación la sacamos de la atenuación:

$-11,5dB=20log(A)=>A=-0,266\\A=e^{-\alpha.100m}=>\alpha=-\frac{ln(A)}{100}=0,013$

Y reemplazamos todo en la ecuación de la resistencia para hallar la resistencia por unidad de longitud:

$R=\sqrt{\frac{4(0,013)^2}{(2\pi.100MHz)^2(67,34pF)^2}((0,013)^2+(2\pi.100MHz)^2(379nH)(67,34pF))}\\\\R=1,98\Omega$