Calcular el termino inicial de una progresión aritmética considerando lo siguiente:
* la diferencia es 1/5
* la suma de los primeros 11 terminos es 143
Respuestas
Para obtener el termino inicial de una progresión debemos utilizar la formulas de Progresiones aritméticas.
¿Que es una progresión aritmética?
Una serie de términos, donde cada término excepto el primero se obtiene sumándole al termino anterior una cantidad constante llamada diferencia(d)
La diferencia.
Se obtiene restandole a un termino el termino anterior.
Formula para hallar el ultimo término de la progresión.
an = a₁ + (n - 1) * d (1)
an = Ultimo termino
a₁ = Primer termino
n = Numero de términos que tiene la progresión
d = Diferencia
Formula para hallar la suma de los términos
Sn = (an + a₁)*n/2 (2)
Desarrollo de la respuesta.
d = 1/5
n = 11
Sn = 143
Aplicando (1)
an = a₁ + (n - 1) * d
an = a₁ + (11 - 1) * 1/5
an = a₁ + 10/5
an = a₁ + 2
an - a₁ = 2 (3)
Aplicando (2)
Sn = (an + a₁) * n/2
143 = (an + a₁) * 11/2
143 * 2 = (an + a₁) * 11
286 /11 = an + a₁
26 = an + a₁
an + a₁ = 26 (4)
Tenemos un sistema de ecuaciones 2 x 2
an - a₁ = 2 (3) Por método de reducción
an + a₁ = 26 (4) Sumamos (3) y (4)
----------------------
2an = 28
an = 28/2
an = 14 Reemplazamos este valor en (3)
an - a₁ = 2
14 - a₁ = 2
14 - 2 = a₁
12 = a₁
Respuesta.
El primer termino de la progresión es 12
El término inicial de la progresión aritmética es 12.
¿Qué es una Progresión Aritmética?
Es una sucesión finita de números, en la que para conseguir cada término se debe sumar al término anterior una cantidad constante llamada diferencia.
En las progesiones aritméticas se usan las ecuaciones:
an = a₁ + (n - 1)d
Sn = n * [(a₁ + an)/2]
Donde:
an: es un término cualquiera de la progresión.
a₁: es el primer término de la progresión.
n: es la posición que ocupa el término an.
d: es la diferencia.
Sn: es la suma de los "n" primeros términos.
Tenemos los datos:
- d = 1/5.
- Sn = 143.
- n = 11.
Planteamos las ecuaciones:
an = a₁ + (n - 1)d
an = a₁ + (11 - 1)(1/5)
an = a₁ + (10)(1/5)
an = a₁ + 2
Sn = n * [(a₁ + an)/2]
143 = 11 * [(a₁ + an)/2]
143/11 = (a₁ + an)/2
13 * 2 = a₁ + an
an = 26 - a₁
Teniendo las dos ecuaciones, igualamos los valores de "an".
a₁ + 2 = 26 - a₁
2a₁ = 26 - 2
a₁ = 24/2
a₁ = 12
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