Question

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas. ∂y/∂x=(-x)/(y-2x)

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed)

$\bold{\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y-2x}}$

es una ed homogenea, cuya solución general es

$\bold{Ln(\frac{x^{2}}{y-x})+\frac{x}{y-x}=C}$  

Desarrollo de la respuesta:  

Una ecuación diferencial (ed) que se expresa de la siguiente manera:  

$M_{(x,y)}dx+N_{(x,y)}dy=0$  

en la cual las funciones M y N son homogéneas del mismo grado (n), se denomina ED Homogenea de grado n.  

Para su solución se reescribe como una derivada:  

$\frac{dy}{dx}=-\frac{M_{(x,y)}}{N_{(x,y)}}$  

Luego, se expresa el lado derecho como una función (y/x) dividiendo cada término entre x elevado al grado de homogeneidad.  

Una vez reescrita de la forma descrita, se aplica el siguiente cambio de variable:  

$\bold{v=\frac{y}{x}\quad \Rightarrow \quad y=vx \quad \Rightarrow }$

$\bold{\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}}$  

Esta nueva ed es de variables separables en v, x.  

En el caso que nos ocupa:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y-2x}$  

1.- La ed es homogénea de grado 1 y está escrita como derivada, así que se dividen todos sus términos entre x:  

Se sabe que es homogénea de grado uno porque todos sus términos tienen esta potencia.  

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{x}{x}}{(\frac{y}{x})-2(\frac{x}{x})}=-\frac{1}{(\frac{y}{x})-2}$  

2.- Se aplica el siguiente cambio de variable:  

$v=\frac{y}{x}\quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$  

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(\frac{y}{x})-2} \quad \Rightarrow$  

$v+x \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v-2} \quad \Rightarrow$  

3.- Se opera para separar las variables y resolver:  

$x \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v-2}-v=\frac{-1-v^{2}+2v}{v-2} \quad \Rightarrow$  

$\frac{(v-2)dv}{-1-v^{2}+2v }=\frac{dx}{x} \quad \Rightarrow$  

$\frac{dx}{x}+\frac{(v-2)dv}{v^{2}-2v+1}=0 \quad \Rightarrow$  

4.- Integramos para obtener la solución general  

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{v-2}{ v^{2}-2v+1}}\,dv}=0 \quad \Rightarrow$  

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{v-2}{(v-1)^{2}}}\,dv}=0 \quad \Rightarrow$  

La primera integral se resuelve de manera inmediata, mientras que la segunda se resuelve aplicando el método de cambio de variable:  

Segunda integral: u = v - 1 ⇒ du = dv  

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{u+1-2}{(u)^{2}}}\,du}=0 \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{u}{ (u)^{2}}}\,du}+\int{\frac{-1}{ (u)^{2}}}\,du}=0 \quad \Rightarrow$  

$Ln(x)+Ln(u)+\frac{1}{u}=C \quad \Rightarrow$  

$Ln(x)+Ln(v-1)+\frac{1}{v-1}=C$  

La solución general es:  

$Ln(x)+Ln(\frac{y}{x}-1)+\frac{1}{\frac{y}{x}-1}=C \quad \Rightarrow$  

$\bold{Ln(\frac{x^{2}}{y-x})+\frac{x}{y-x}=C}$  

Pregunta relacionada:  

Ayuda por Favor ... Ecuaciones Diferenciales Homogéneas... brainly.lat/tarea/11510884