Respuestas
La Ecuación Diferencial (ed)
es una ed homogenea, cuya solución general es
Desarrollo de la respuesta:
Una ecuación diferencial (ed) que se expresa de la siguiente manera:
en la cual las funciones M y N son homogéneas del mismo grado (n), se denomina ED Homogenea de grado n.
Para su solución se reescribe como una derivada:
Luego, se expresa el lado derecho como una función (y/x) dividiendo cada término entre x elevado al grado de homogeneidad.
Una vez reescrita de la forma descrita, se aplica el siguiente cambio de variable:
Esta nueva ed es de variables separables en v, x.
En el caso que nos ocupa:
1.- La ed es homogénea de grado 1 y está escrita como derivada, así que se dividen todos sus términos entre x:
Se sabe que es homogénea de grado uno porque todos sus términos tienen esta potencia.
2.- Se aplica el siguiente cambio de variable:
3.- Se opera para separar las variables y resolver:
4.- Integramos para obtener la solución general
La primera integral se resuelve de manera inmediata, mientras que la segunda se resuelve aplicando el método de cambio de variable:
Segunda integral: u = v - 1 ⇒ du = dv
La solución general es:
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