Question

Dados los vectores 3D μ ⃗=4i-2j-k y ϑ ⃗=4i-4j-3k determine su producto cruz y calcule el resultado de la siguiente operación:
A. (2u+v)∙(-3v-u)
B. (v-u)∙(5/3 u-v)
C. (u+2/3 v)∙(u+v)
D. 4/3 (-u-v)∙(2u+v)
E. (u+1/3 v)∙(u-v)

Answer 1

Las operaciones solicitadas tienen como requisito que los vectores involucrados tengan la misma cantidad de componentes; es decir, pertenezcan al mismo espacio dimensional.

Explicación paso a paso:

El producto cruz o producto vectorial tiene como resultado un vector; mientras que el producto punto o producto escalar tiene como resultado un escalar:

$\overrightarrow{\mu}\times\overrightarrow{\vartheta}=\left|\begin{array}{ccc}i&4&4\\j&-2&-4\\k&-1&-3\end{array}\right|=[(i)(-2)(-3)+(j)(-1)(4)+(k)(4)(-4)]-[(i)(-4)(-1)+(j)(4)(-3)+(k)(-2)(4)]\qquad\Rightarrow$

$\bold{\overrightarrow{\mu}\times\overrightarrow{\vartheta}=2i+8j-8k}$

En los ítems A hasta E, vamos a resolver las operaciones encerradas en los paréntesis y luego los productos escalares:

La suma y la sustracción de vectores se obtiene sumando o restando los componentes de los vectores de las mismas posiciones.

El producto de un vector por un escalar: el escalar se multiplica por todos y cada uno de los componentes del vector.

$\bold{A.~~(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})\cdot(-3\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})}$

$2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta}=2(4i-2j-k)+(4i-4j-3k)=(8i-4j-2k)+(4i-4j-3k)=12i-8j-5k$

$-3\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu}=-3(4i-4j-3k)-(4i-2j-k)=(-12i+12j+9k)-(4i-2j-k)=-16i+14j+10k$

$(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})\cdot(-3\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})=(12i-8j-5k)\cdot(-16i+14j+10k)\quad\Rightarrow$

$(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})\cdot(-3\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})=(12)(-16)+(8)(14)+(-5)(10)=\bold{-130}$

$\bold{B.~~(\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})\cdot(\frac{5}{3}\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})}$

$\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu}=(4i-4j-3k)-(4i-2j-k)=-2j-2k$

$\frac{5}{3}\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta}=\frac{5}{3}(4i-2j-k)-(4i-4j-3k)=(\frac{20}{3}i-\frac{10}{3}j-\frac{5}{3}k)-(4i-4j-3k)=\frac{8}{3}i+\frac{2}{3}j+\frac{4}{3}k$

$(\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})\cdot(\frac{5}{3}\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})=(0i-2j-2k)\cdot(\frac{8}{3}i+\frac{2}{3}j+\frac{4}{3}k)\quad\Rightarrow$

$(\overrightarrow{\vartheta}-\overrightarrow{\mu})\cdot(\frac{5}{3}\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})=(0)(\frac{8}{3})+(-2)(\frac{2}{3})+(-2)(\frac{4}{3})=\bold{-4}$

$\bold{C.~~(\overrightarrow{\mu}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})}$

$\overrightarrow{\mu}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\vartheta}=(4i-2j-k)+\frac{2}{3}(4i-4j-3k)=(4i-2j-k)+(\frac{8}{3}i-\frac{8}{3}j-2k)=\frac{20}{3}i-\frac{14}{3}j-3k$

$\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta}=(4i-2j-k)+(4i-4j-3k)=8i-6j-4k$

$(\overrightarrow{\mu}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})=(\frac{20}{3}i-\frac{14}{3}j-3k)\cdot(8i-6j-4k)\quad\Rightarrow$

$(\overrightarrow{\mu}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})=(\frac{20}{3})(8)+(-\frac{14}{3})(-6)+(-3)(-4)=\bold{\frac{280}{3}}$

$\bold{D.~~\frac{4}{3}(-\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})\cdot(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})}$

$\frac{4}{3}(-\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})=\frac{4}{3}[-(4i-2j-k)-(4i-4j-3k)]=\frac{4}{3}(-8i+6j+4k)=-\frac{32}{3}i+8j+\frac{16}{3}k$

$2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta}=12i-8j-5k$

$\frac{4}{3}(-\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})\cdot(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})=(-\frac{32}{3}i+8j+\frac{16}{3}k)\cdot(12i-8j-5k)\quad\Rightarrow$

$\frac{4}{3}(-\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})\cdot(2\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{\vartheta})=(-\frac{32}{3})(12)+(8)(-8)+(\frac{16}{3})(-5)=\bold{-\frac{656}{3}}$

$\bold{E.~~(\overrightarrow{\mu}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})}$

$\overrightarrow{\mu}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\vartheta}=(4i-2j-k)+\frac{1}{3}(4i-4j-3k)=(4i-2j-k)+(\frac{4}{3}i-\frac{4}{3}j-k)=\frac{16}{3}i-\frac{10}{3}j-2k$

$\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta}=(4i-2j-k)-(4i-4j-3k)=8j+2k$

$(\overrightarrow{\mu}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})=(\frac{16}{3}i-\frac{10}{3}j-2k)\cdot(8j+2k)\quad\Rightarrow$

$(\overrightarrow{\mu}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\vartheta})\cdot(\overrightarrow{\mu}-\overrightarrow{\vartheta})=(\frac{16}{3})(0)+(-\frac{10}{3})(8)+(-2)(2)=\bold{-\frac{92}{3}}$