Question

Si x > y son dos enteros positivos mayores que 10 que cumplen que x² - y² = 2020, ¿cuántos valores diferentes puede tomar el número x?

Answer 1

Tenemos que $x^2-y^2=2020$ con x>y.

Sea "n" tal que:

$x=y+n$

Luego:

$x^2=y^2+2yn+n^2\\x^2-y^2=2yn+n^2\\2020=n(2y+n)$

Factoricemos 2020:

$2020=2^2*5*101$

Se debe cumplir entonces que:

$2^2*5*101=n(2y+n)$

Se nos hace una larga lista de los valores que puede tomar "n" y "(2y+n)" (de tal forma que el producto de ambos conformen todos los factores primos de 2020).

Si por ejemplo:

n=2

Entonces:

$2y+2=2020/n=2020/2\\\\2y+2=2*5*101\\\\2y=1010-2\\\\y=504$

Luego

$x^2=2020+y^2=2020+504^2\\\\x=\sqrt{256036} \\\\x=506$

Sin embargo, no todas las posibles combinaciones cumplen con que "x" e "y" sean enteros.

Tenemos de vuelta que:

$2020=n(2y+n)$

Si "n" es impar, es decir, de la forma (2k+1), donde k es un número entero, y "p" es el resultado entre 2020/n, (el cual sería par), entonces:

$2y+(2k+1)=p\\\\2y=p-2k-1\\\\y=\frac{(p-1)-2k}{2}\\ \\y=\frac{p-1}{2}-k$

Como (p-1) es impar, entonces  al dividirlo por 2 haría a "y" un número decimal, por lo que "n" entonces no puede ser impar.

Si por otro lado, n es par, entonces:

$2y+n=\frac{2020}{n}\\ \\2y=\frac{2020}{n} -n\\\\y=\frac{1010}{n}-\frac{n}{2}$

Se cumple entonces que "y" es entero si 1010 es divisible por n, siendo n un número par. Como los factores de 1010 son 2*5*101, entonces "n" debe contener un solo 2 (no puede contener ambos 2 del 2020, porque 2*2=4 no es un divisor de 1010)

Por lo tanto concluimos que los valores posibles para n son:

n=2

n=2*5=10

n=2*101=202

n=2*5*101=1010

n=-2

n=-2*5=-10

n=-2*101=-202

n=-2*5*101=-1010

Aún no hemos terminado:

Por último, sabemos que x e y son números enteros positivos. Por lo tanto, encontrando los valores de x e y para cada n (como hicimos en el ejemplo anterior):

n=2 => y=504 ; x=506

n=10 => y=96 ; x=106

n=202 => y=-504 ; x=506

n=1010 => y=-96 ; x=106

n=-2 => y=-504 ; x=506

n=-10 => y=-96 ; x=106

n=-202 => y=504 ; x=506

n=-1010 => y=96 ; x=106

Se cumple entonces que los únicos valores diferentes que puede tomar x son 506 y 106.

Saludos.

Dejo una versión simplificada en otra respuesta: https://brainly.lat/tarea/14034513