Question

Dada la recta r definida por los puntos A(40,58,67), B(90,23,41) y el
plano π. definido por  |
E( 20 , 0, 0)
F(105,63,0)
G(70, 0, 45)
. Determinar el ángulo que forma
la recta r y el plano π.

Answer 1

El ángulo formado por la recta  r  y el plano  π  es de 59,69°  aproximadamente.

Explicación paso a paso:

1.- El ángulo alpha entre la recta  r  y el plano  pi se puede calcular por medio de la siguiente expresión:  

$\bold{Cos(\alpha)~=~\frac{|n_{1}\cdot n_{2}|}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} }\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} }}}$

donde  n₁  y  n₂  son el vector de dirección de la recta y un vector del plano, respectivamente,  n₁.n₂  es el producto escalar entre los vectores y  α  es el ángulo formado por esos vectores.

2.- Los vectores se hallan fácilmente a partir de los puntos conocidos de la recta (A y B) y el plano (E y F):  

n₁  =  B  -  A  =  ([90  -  40], [23  -  58], [41  -  67])  =  (50, -35, -26)

n₂  =  F  -  E  =  ([105  -  20], [63  -  0], [0  -  0])  =  (85, 63, 0)

3.- Conociendo los vectores, obtenidos en 2.-, se calculan sus módulos y el producto escalar entre ellos:  

$|n_{1}|~=~\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2} }~=~\sqrt{(50)^{2}~+~(-35)^{2}~+~(-26)^{2}}~=~3\sqrt{163}$

$|n_{2}|~=~\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2} }~=~\sqrt{(85)^{2}~+~(63)^{2}~+~(0)^{2}}~=~\sqrt{11194}$

$n_{1}\cdot n_{2}~=~x_{1}\cdot x_{2}~+~ y_{1}\cdot y_{2}~+~z_{1}\cdot z_{2}~=~(50)\cdot(85)~+~(-35)\cdot(63)~+~(26)\cdot(0)~=~2045$

4.- Sustituimos los resultados obtenidos en 3.- en la expresión dada en 1.- para el cálculo del Coseno del ángulo entre los vectores:  

$Cos(\alpha)~=~\frac{2045}{(3\cdot\sqrt{163})\cdot(\sqrt{11194})}$

5.- Finalmente se obtiene el ángulo entre la recta r y el plano π, al calcular el Arco coseno del resultado obtenido en 4.-.  

$\alpha~=~ArcCos[\frac{2045}{(3\cdot\sqrt{163})\cdot(\sqrt{11194})}]\qquad\Rightarrow$

$\bold{\alpha~=~59.69^{o}}$

El ángulo formado por la recta  r  y el plano  π  es de 59,69°  aproximadamente.