De todos los angulos isosceles cuyos lados congruente mide 5 cm ¿ cual o cuales ( si es que hay algun algunos) poseen una mayor área?
Respuestas
Sean b y h la base y la altura del triángulo. Su lado común mide 5 m
Llamo Ф al ángulo entre el lado y la base
La superficie es S = 1/2 b h
Se deben expresar b y h en función de Ф:
b/2 = 5 cosФ; h = 5 senФ; reemplazamos.
S = 1/2 . 5 . 5 senФ cosФ = 12,5 senФ cosФ
Una identidad trigonométrica expresa: 2 senФ cosФ = sen(2 Ф)
Luego S = 6,25 sen(2 Ф)
Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda negativa.
S' = 6,25 cos(2 Ф) . 2 = 12,5 cos(2 Ф)
S'' = - 25 sen(2 Ф)
Para ángulos del primer cuadrante, sen(2 Ф) es positivo.
Por lo tanto S'' > 0, hay máximo en S' = 0
O sea cos(2 Ф) = 0
Corresponde con 2 Ф = 90°;
Por lo tanto Ф = 45°
Este valor es único porque el angulo del triángulo isósceles es agudo.
El área máxima es:
S = 6,25 sen(2 . 45°) = 6,25 m²
Adjunto gráfico de S en función del ángulo, expresado en grados.
Mateo.
