Question

Un sólido tiene como base un círculo de radio r, y todas las intersecciones del sólido con planos verticales paralelos a una dirección fija son rectángulos con altura igual a la mitad de lo que mide su base. Determina su volumen.

Answer 1

El volumen de este sólido es igual a 8/3.r

Explicación paso a paso:

El volumen del cuerpo se puede hallar mediante integral, su suponemos que la base es un círculo centrado en el origen tenemos que su curva frontera es:

$x^2+y^2=r^2$

Luego si la intersección con planos verticales paralelos a una dirección fija, supongamos, paralelos al plano zy, son rectángulos cuya altura es la mitad de la base, la base de ellos será:

$y=\sqrt{r^2-x^2}\\\\b=2\sqrt{r^2-y^2}$

Ya que la base de los rectángulos verticales será una cuerda del círculo, la altura de estos si es la mitad de la base es entonces:

$z=\sqrt{r^2-x^2}$

Con esto podemos ya considerar un diferencial de volumen como el área del rectángulo vertical por diferencial de x:

$dV=z.y.dx=2(r^2-x^2)dx$

Y el volumen es la integral entre -r y r:

$V=\int\limits^r_{-r} {2(r^2-x^2)} \, dx =2\int\limits^r_{-r} {r^2-x^2} \, dx\\\\V=2[r^2.x-\frac{x^3}{3}]^{r}_{-r}\\\\V=\frac{8}{3}r$

Y el sólido es, en la imagen adjunta el recinto comprendido entre el plano xy, el semicilindro $z^2+x^2=r^2; 0\leqx\leq r$ y el cilindro $x^2+y^2=r^2$