Question

Una fuerza dependiente del tiempo, F S (8.00i ˆ 4.00t j ˆ ) N, donde t está en segundos, se ejerce sobre un objeto de 2.00 kg inicialmente en reposo. a) ¿En qué tiempo el objeto se moverá con una rapidez de 15.0 m/s? b) ¿A qué distancia está el objeto de su posición inicial cuando su rapidez es 15.0 m/s? c) ¿A través de qué desplazamiento total el objeto viajó en este momento?

Answer 1

Respuesta:

Todo lo preguntado es de cinemática, excepto que nos dan datos dinámicos (fuerza y masa) entonces con ellos por la segunda ley de Newton obtenemos la aceleración, que, como la fuerza, es variable:

1º) F = m a  =>  a = F/m = (8 i - 4t j) / 2 = 4 i - 2t j → en unidades del S.I.  

(o sea: a = 4 m/s² i - 2 m/s³ . t j)

2º) desarrollamos las preguntas dadas, sólo aplicando cinemática:

a)  dv/dt = a

de donde:

dv = a dt

v = ∫ a dt + C1 = ∫ (4i - 2t j ) dt + C1 = 4t i - t² j + C1

Para t=0, sabemos que está en reposo, o sea v=0 => 0 = 4 . 0 i - 0² j + C1 => C1 = 0 → valor de la constante de integración.

queda → v = 4t i - t² j

pero el módulo de v es tal que:

|v|² = (4t)² + (-t²)²  → por Pitágoras

225 = 16 t² + (-t²)² = 16 z + z² → por comodidad hago z = t² → cambio de variable

y obtenemos una ecuación de segundo grado en z:

z² + 16 z - 225 = 0

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cuyas raíces son:  z1=9 s² . . y . . .z2 = -25 s²

Descartamos z2 porque al aplicar raíz para hallar t nos dará números imaginarios, queda:

t = ±√ z1 = ± 3 s

Obviamente descartamos el t<0 porque es anterior al tiempo considerado inicial, y queda:

t = 3 s → respuesta (a)

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Nota: dice que el resultado da 2,4 segundos, pero eso no da lo esperado, por que en ese tiempo la velocidad en modulo es: 6,65 m/s, no 15 m/s

b) p = posición (vector)  

dp/dt = v

dp = v dt

p = ∫ v dt + C2

p = ∫ (4t i - t² j) dt + C2 = 2 t² i - t³/3  j + C2

si consideramos p=0 para t=0 (o sea está en el origen de coordenadas) => C2=0 y queda:

p = 2 t² i - t³/3  j  

que para t=3 s, o sea cuando v=15 m/s da:

p = 2 . 9 i - 27/3 j = 18 i - 9 j

|p| = √(18² + 9²) = 20,12 m → distancia, igual al módulo del desplazamiento → respuesta (b)

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c) desplazamiento = p = d = (18 i - 9 j) m → respuesta (c)  

El desplazamiento es igual a la posición final al considerar la posición inicial en el origen de coordenadas.

Explicación: