Question

Considere un sistema formado por un disco de radio R y un alambre de longitud L, ambos con carga positiva distribuida uniformemente (ver figura). Determinar:

a) el campo eléctrico en el punto P, generado por el disco, el alambre y el sistema.
b) el potencial en el punto P, generado por el disco, el alambre y el
sistema.

Answer 1

El campo eléctrico debido al disco es $E=\frac{(L+x_0)\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{1}{L+x_0}-\frac{1}{\sqrt{(L+x_0)^2+R^2}})$ y el campo eléctrico debido al alambre es $E=\frac{kQ}{x_0(L+x_0)}$ dando un campo eléctrico total en P de $E=\frac{(L+x_0)\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{1}{L+x_0}-\frac{1}{\sqrt{(L+x_0)^2+R^2}})+\frac{kQ}{x_0(L+x_0)}$.

Por otro lado el potencial debido al disco es $V=k\pi\sigma.arctan(\frac{R}{L+x_0})$ y el potencial debido al alambre es $V=k\lambda.ln(\frac{L+x_0}{x_0})$ siendo el potencial total del sistema sobre P de $V=k\sigma\pi.arctan(\frac{R}{L+x_0})+k\lambda.ln(\frac{L+x_0}{x_0})$

Explicación:

Tanto el disco como el alambre se pueden analizar por la ley de Coulomb considerándolos como un sistema de cargas puntuales de valor dQ.

a) En cuanto al disco, cada punto del mismo genera sobre P un campo eléctrico de magnitud:

$dE=k\frac{dQ}{(L+x_0)^2+(r)^2}$

Cuya dirección será la recta que une el punto con el sector del disco. Nótese que las componentes transversales se compensan mutuamente, la dirección del campo eléctrico es perpendicular al disco.

$dE=k\frac{dQ}{(L+x_0)^2+r^2}.cos(\theta)=k\frac{\sigma.dS}{(L+x_0)^2+r^2}.\frac{L+x_0}{\sqrt{(L+x_0)^2+r^2}}$

El ángulo aludido es medido en relación al eje del disco. Y a su vez el diferencial de área dS se puede pensar como un anillo concéntrico de espesor dr:

$dS=\pi.r^2-\pi(r-dr)^2=\pi(r^2-r^2+2rdr-r^2dr^2)\simeq 2\pi rdr$

Y el campo eléctrico debido al disco queda:

$E=\int\limits^R_0 {k\frac{\sigma.2\pi.r.dr}{(L+x_0)^2+r^2}.\frac{L+x_0}{\sqrt{(L+x_0)^2+r^2}} \, dr\\\\E=2.(L+x_0)k\pi\sigma\int\limits^R_0 {\frac{r}{\sqrt{(L+x_0)^2+r^2}((L+x_0)^2+r^2)}} \, dr\\\\E=(L+x_0)k\pi\sigma\int\limits^R_0 {\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \, du\\\\E=k\pi.(L+x_0)\sigma(\frac{1}{L+x_0}-\frac{1}{\sqrt{(L+x_0)^2+R^2}})$

$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=>E=\frac{(L+x_0)\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{1}{L+x_0}-\frac{1}{\sqrt{(L+x_0)^2+R^2}})$

Ahora el alambre es una sucesión de puntos, y pasa por el centro del disco.  Además está en la misma línea que P, por lo que el campo debido al alambre es:

$dE=k\frac{dQ}{r^2}=k\frac{\lambda.dr}{r^2}\\\\E=k\lambda\int\limits^{L+x_0}_{x_0} {\frac{1}{r^2}} \, dr =k\lambda(\frac{1}{x_0}-\frac{1}{L+x_0})=\frac{k\lambda.L}{x_0(L+x_0)}=\frac{kQ}{x_0(L+x_0)}$

Con lo cual si llamamos E1 al campo del disco y E2 al campo del alambre, estos se suman porque la carga es del mismo signo, y los dos tienen la misma dirección, queda:

$E=E_1+E_2=\frac{(L+x_0)\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{1}{L+x_0}-\frac{1}{\sqrt{(L+x_0)^2+R^2}})+\frac{kQ}{x_0(L+x_0)}$

b) Con el mismo razonamiento anterior podemos encontrar el potencial eléctrico debido al disco tomando:

$dV=k\frac{dQ}{\sqrt{(L+x_0)^2+r^2}}.cos(\theta)=k\frac{\sigma.dS}{(L+x_0)^2+r^2}.(L+x_0)=k\frac{2\pi\sigma.rdr}{(L+x_0)^2+r^2}.(L+x_0)$

Y queda:

$V=2k\pi\sigma(L+x_0)\int\limits^a_b {\frac{r}{(L+x_0)^2+r^2}} \, dr \\\\V=k\pi\sigma\int\limits^R_0 {\frac{\frac{2r}{(L+x_0)}}{1+\frac{r^2}{(L+x_0)^2}}} \, dr \\\\u=\frac{r}{L+x_0}=>V=k\pi\sigma.\int\limits^{r=R}_0 {\frac{1}{1+u^2}} \, du \\\\V=k\pi\sigma.arctan(\frac{R}{L+x_0})$

Y el potencial debido al alambre es:

$V=k\lambda\int\limits^{L+x_0}_{x_0} {\frac{1}{r}} \, dr =k\lambda.ln(\frac{L+x_0}{x_0})$

Ambos potenciales tendrán el mismo signo y se sumarán siendo el potencial total del sistema sobre P:

$V=k\sigma\pi.arctan(\frac{R}{L+x_0})+k\lambda.ln(\frac{L+x_0}{x_0})$