La posición del bote que se muestra en la figura durante el intervalo de tiempo desde t =2 s hasta t = 10 s está dada por x = 4t +1.6t2 - 0.08t3 m. a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t = 4 s. b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalo de tiempo y cuándo ocurre?
Respuestas
La velocidad el bote y aceleración para t =4s es 12,96 m/s y 1,28 m/s²
La velocidad máxima del bote es para t = 14,48s, no entra dentro del intervalo.
Explicación paso a paso:
Para calcular la velocidad se deriva la función de distancia o posición respecto al tiempo
v = dx/dt = 4 + 2*1,6t-3*0,08t² = 4+ 3,2t -0,24t²
Evaluando para t = 4s
v = 4+ 3,2*4 -0,24*4² = 12,96 m/s
Para calcular la aceleración se calcula la derivada de la velocidad respecto al tiempo
a = dv/dt = 3,2 - 2*0,24t = 3,2 - 0,48t
Evaluando en t = 4s
a = 3,2 - 0,48*4 = 1,28 m/s²
Para calcular la velocidad máxima se iguala la primera derivada a cero
4+ 3,2t -0,24t² = 0
y se despeja t, aplicando la ecuación cuadrática se obtiene:
t = 14,48 s
t = -1,15 s
Como ninguno de los valores se encuentran dentro del rango de 2s a 10 s, no existe un máximo en este intervalo para esa función, sin embargo evaluando el punto de velocidad máxima se encuentra en t =14,48
para t = -1,15 → 3,2 - 0,48*(-1,15) = 3,75 como es positivo este punto es un mínimo
para t = 14,48 → 3,2 - 0,48*(14,48) = -3,75 como es negativo este punto es un máximo