Question

Un pendulo de longitud L y masa m tiene un
resorte sin masa con constante de fuerza k conectado a el
(ver figura). Considerando que la cuerda es ideal, encuentre
la frecuencia ω y el periodo T del sistema para pequeños
valores de la amplitud; es decir, para angulos θ pequeño tal
que cos(θ) ≈ 1 y sen(θ) ≈ θ.

Answer 1

La frecuencia para queños valores de amplitud viene dada por

ω = √(mgL + kL²)/mL²

y el periodo es su inverso

T = 2π/[√(mg + kL)/mL]

Explicación:

Aplicamos la segunda ley de Newton para rotacion

∑ζ = Iα

El resorte es la fuerza recuperativa adicional a este la masa

-kxLCosθ - mgx  = mL²Ö

El valor de la amplitud x es

x = LSenθ

Para amplitudes pequeñas

cos(θ) ≈ 1 y sen(θ) ≈ θ

-k(L)Lθ -  mgθ = mL²Ö

-(mgL + kL²)θ = mL²Ö

Ö + (mgL + kL²)/mL²θ = 0

Ecuacion de Movimiento Armonico simple con una frecuencia de

ω = √(mgL + kL²)/mL²

Y un periodo de:

T = 2π/[√(mg + kL)/mL]