Question

De un círculo de radio de 12 pulgadas se corta una sección circular cuyo ángulo central es teta, y los lados de esta sección se unen para formar un cono circular recto. Encuentre la magnitud que deberá tener teta para que el volumen del cono sea máximo.

Answer 1

El angulo maximo, para obtener el volumen maximo del cono derivado de la circunferencia es de:

∅ =293.93°

Explicación paso a paso:

El volumen del cono se determina por:

V = πr²h/3

La altura se determina por Teorema de pitagoras

h = √R² - r²

R: radios de circulo inicial

r : radio del cono

Donde el radio viene dado por la ecuacion del perimetro del cono abierto

r = R∅/2π

Sustituimos y obtenemos

h = R/24π√(4π²-∅²)

El valor de esta altura sustituimos en la ecuacion de volumen

V = [π(R∅/2π)²*R/24π√(4π²-∅²)]/3

V = R³∅²√(4π²-∅²)/24π²

Derivamos e igualamos a cero para hallar el maximo de la funcion

dV/dt = R³/24π²[2∅√(4π²-∅²) + ∅²(-2∅/2√(4π²-∅²)] = 0

2√(4π²-∅²) - ∅²/√(4π²-∅²) = 0

∅²/√(4π²-∅²) = -2√(4π²-∅²)

∅² = 2(4π²-∅²)

∅² = 8π²- 2∅²

∅ =√(8π²/3)

∅= 2.13*180/π

∅ =293.93°