Question

Encuentra el valor que hace falta para que la igualdad se cumpla

Answer 1

Los valores de la incógnita en cada inciso son: 4 para el (a), -128 para el (b), 3 para el (c), 5 para el (d), 4 para el (e) y 729 para el (f).

Explicación paso a paso:

En estas ecuaciones tenemos que tener en cuenta las propiedades de la potenciación para el producto y división de bases iguales, por ejemplo:

a) Aquí se aplica el producto de bases iguales

$2^a.2^5=2^9\\\\2^{a+5}=2^9\\\\a+5=9\\a=4$

b) La inversa de la radicación es la potenciación por lo que podemos elevar a la séptima ambos miembros:

$\sqrt[7]{x}=-2\\ \\(\sqrt[7]{x})^7=(-2)^7\\\\x=-128$

c) Cuando tenemos una potencia de otra potencia, los exponentes de ambas se multiplican, asimismo la radicación es la inversa de la potenciación:

$(2^x)^2=64\\\\2^x=\sqrt{64}=8\\\\x=3$

d) Cuando tenemos una división de bases iguales, se restan los exponentes:

$\frac{7^8}{7^x}=7^3\\\\7^{8-x}=7^{3}\\\\8-x=3\\\\x=5$

Para realizar las operaciones que siguen deberemos aplicar los logaritmos, la logaritmación es otra inversa de la potenciación por la cual se determina el exponente de la potencia.

e) Despejamos el índice:

$\sqrt[x]{256}=4\\ \\256=4^x\\\\log_4(256)=log_4(4^x)\\x=log_4(256)\\\\4^2=16\\4^3=64\\4^4=256\\\\x=4$

f) Las raíces se pueden considerar exponentes fraccionarios de modo que queda:

$\sqrt[n]{x} =x^{\frac{1}{n}}\\\\\sqrt{\sqrt[3]{x}}=3\\\\x^{\frac{1}{2}\frac{1}{3}}=3\\\\x^{\frac{1}{6}}=3\\\\(x^{\frac{1}{6}})^6=3^6\\\\x=729$