Question

¿Cuántos números de dos cifras cumplen que al dividirlo entre la suma de sus cifras se obtiene un valor mayor que 2 pero menor que 3?

Answer 1

Sea un número ab tal que:

$2<\frac{10a+b}{a+b}<3$

Si multiplicamos todos los términos por (a+b)

$2(a+b)<10a+b<3(a+b)\\\\2a+2b<10a+b<3a+3b$

Y si restamos b y 2a:

$b<8a<a+2b$

Podemos observar que b debe ser menor que 8a, lo que implica que a puede tomar cualquier valor, excepto el valor 1 cuando b es igual a 8 o 9.

Por lo tanto, para la primera condición tenemos que de los 90 números, 88 cumplen con que b<8a (los únicos que no cumplen son el 18 y el 19 por lo ya mencionado).

Luego, de la inecuación:

$8a<a+2b$

Si restamos "a":

$7a<2b\\a<\frac{2}{7} b$

Observamos que "a" debe ser menor que "(2/7)b", por lo tanto:

*Si b≤3, no existe valor para a.

*Si 4≤b≤7 el valor posible para a es 1

*Si 8≤b≤9 el valor posible para a es 1 y 2.

Por ende, los valores posibles son:

14,15,16,17,18,19,28,29 (8 números)

Pero como 18 y 19 no cumplen con la primera condición, entonces tenemos solo 6 números de dos cifras que cumplen con todas las condiciones.