Question

Se debe diseñar un empaque cilíndrico con tapa. El cliente demanda que cuente con el menor área superficial y que tenga como volumen 16π cm^3.

Answer 1

El volumen de un cilindro está dado por:

$V=\pi*r^2*h=16\pi$

Si despejamos h:

$h=\frac{16\pi}{\pi r^2} =\frac{16}{r^2}$

Por otro lado, el área total de un cilindro está dado por la suma del área lateral con el doble del área de la base:

$A_t=A_l+2*A_b\\\\A_t=2\pi r h+2(\pi r^2)$

Si reemplazamos h:

$A_t=2*\pi*r*\frac{16}{r^2} +2*\pi*r^2\\\\A_t=\frac{32\pi}{r} +2\pi r^2$

Podemos entonces encontrar los valores del área en función del radio. Por lo tanto, vamos a proceder a derivar la función:

$A'(r)=-\frac{32\pi}{r^2} +4\pi r$

Luego, buscaremos las raíces de la función expresada:

$-\frac{32\pi}{r^2} +4\pi r=0\\\\(4\pi r=\frac{32\pi}{r^2})*r^2\\\\4\pi r^3=32\pi\\\\r=\sqrt[3]{8} \\\\r=2$

Se nos presenta que el área superficial será menor cuando r=2. Luego:

$A(2)=\frac{32\pi}{2} +2\pi *2^2\\\\A(2)=75,40$

El empaque cilíndrico con volumen de 16π cm³ con menor área superficial tendrá un área igual a 75,40 cm²

Saludos.