Question

Cual es la solución de esta ecuación diferencial homogénea $\frac{dy}{dx} =\frac{3xy+y^{2} }{x^{2} }$

Answer 1

Respuesta:

$cx = -\frac{y}{x}(\sqrt[]{(\frac{y}{x}+1)^{2} -1} )$

Explicación:

Primero haz el cambio de variable y = ux, después, deriva y respecto a x (es importante resaltar que u depende de x) $\frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx} + u =>\frac{3x(ux) + (ux)^{2} }{x^{2} } = x\frac{du}{dx} + u => (3u + u^{2} -u)\frac{1}{x} = \frac{du}{dx} => ln(x) + c = \int\limits \frac{1}{2u + u^{2}} {} \, du = \int\limits \frac{1}\left(u+1\right)^2-1} {} \, du, z = u+1, \frac{dz}{du} =1 =>ln(x) + c =\int\limits \frac{1}\left(z\right)^2-1} {} \, dz = \int\limits {\frac{1+z-z}{(z-1)(z+1)} } \, dz = \int\limits {\frac{1}{(z-1)} } \, dz +\int\limits {\frac{-z}{z^{2}-1 } } \, dz, w=z^{2}-1 , dw = 2zdz$

$=> ln(x) + c = ln(z-1) - \frac{1}{2} \int{\frac{1}{w}} \, dw = ln(z-1)-\frac{1}{2} ln(z^{2}-1 ) = ln(u)-\frac{1}{2} ln((u+1)^{2}-1 )= ln(\frac{y}{x} )-\frac{1}{2} ln((\frac{y}{x}+1)^{2}-1 )$

Usando exponencial:

$cx = -\frac{y}{x}(\sqrt[]{(\frac{y}{x}+1)^{2} -1} )$