Suponga que tiene un espacio muestral S {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}, donde E1, E2, . . . , E7 denotan los puntos de la muestra.
Las asignaciones de probabilidad siguientes se aplican: P(E1) 0.05; P(E2) 0.20; P(E3) 0.20; P(E4) 0.25; P(E5) 0.15; P(E6) 0.10, y P(E7) 0.05. Sean
A {E1, E4, E6}
B {E2, E4, E7}
C {E2, E3, E5, E7}
a) Calcule P(A), P(B) y P(C).
b) Encuentre A B y P(A B).
c) Calcule A B y P(A B).
d) ¿A y C son mutuamente excluyentes?
e) Calcule Bc y P(Bc).
Respuestas
Se determinan los datos solicitados haciendo uso de teoria de conjunto para los distintos eventos dadtos segun el espacio muestral Ei (i desde 1 hasta 7)
Tenemos que:
S {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}
P(E1) = 0.05
P(E2) = 0.20
P(E3) = 0.20
P(E4) = 0.25
P(E5) = 0.15
P(E6) = 0.10
P(E7) 0.05
Si sumamos todas las probabilidades obtenemos en total "1" por lo tanto todos los eventos Ei (i desde 1 hasta 7) son mutuamentes excluyentes:
Si:
A {E1, E4, E6}
B {E2, E4, E7}
C {E2, E3, E5, E7}
P(A) = P(E1) + P(E4) + P(E6) = 0.05 + 0.25 + 0.10 = 0.40
P(B) = P(E2) + P(E4) + P(E7) = 0.20 + 0.25 + 0.05 = 0.50
P(C) = P(E2) + P(E3) + P(E5) + P(E7) = 0.20 + 0.20 + 0.15 + 0.05 = 0.60
Encontre:
P(AUB) = P(E1) + P(E2) + P(E4) + P(E6) + P(E7) = 0.4 + 0.5 - 0.25 = 0.65
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AUB) = 0.40 + 0.50- 0.65 = 0.25
A y C son mutuamente excluentes: Si podemos observar que no hay ningun evento en A y en C que sean iguales y P(A) + P(C) = 1
Complemento de B = {E1, E3, E5, E6}
P(Complemento(B)) = 1 - P(B) = 1 - 0.5 = 0.5
Las probabilidades de los conjuntos A, B y C son:
- P(A) = 0.40
- P(B) = 0.50
- P(C) = 0.60
¿Qué es el espacio muestral?
El conjunto espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
¿Cómo se definen las probabilidades?
Cada punto muestral tiene una probabilidad de ocurrencia y esta probabilidad se determina por frecuencias de ocurrencia con respecto al total. La suma de las probabilidades de todos los puntos en el espacio muestral es 1.
Con la información dada respondamos las preguntas:
a) Calcule P(A), P(B) y P(C)
El probabilidad de los conjuntos A, B y C es la suma de las probabilidades de cada uno de sus elementos.
P(A) = P(E1) + P(E4) + P(E6) = 0.05 + 0.25 + 0.10 = 0.40
P(B) = P(E2) + P(E4) + P(E7) = 0.20 + 0.25 + 0.05 = 0.50
P(C) =P(E2)+P(E3)+P(E5)+P(E7)= 0.20+0.20+0.15+0.05 = 0.60
Las probabilidades de los conjuntos A, B y C son:
- P(A) = 0.40
- P(B) = 0.50
- P(C) = 0.60
b) Encuentre A∩B y P(A∩B)
El conjunto intersección de los conjuntos A y B es aquel conjunto que incluye todos elementos que aparecen en ambos conjuntos a la vez.
Revisando los elementos que constituyen ambos conjuntos se observa que solo tienen en común el elemento E4, entonces, la probabilidad está asociada solo a ese elemento.
A∩B = { E4 }
P(A∩B) = 0.25
c) Calcule A∪B y P(A∪B)
El conjunto unión de los conjuntos A y B es aquel conjunto que incluye todos elementos que aparecen en al menos uno de los conjuntos A o B.
Se puede construir por inspección de los conjuntos a unir o por la expresión
A∪B = A + B - A∩B
A∪B = {E1, E4, E6} + {E2, E4, E7} - {E4} = {E1, E2, E4, E6, E7}
La probabilidad del conjunto unión se puede calcular por una expresión similar a la anterior o sumando las probabilidades de cada uno de sus elementos
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.40 + 0.50 - 0.25 = 0.65
d) ¿A y C son mutuamente excluyentes?
Dos conjuntos son mutuamente excluyentes cuando no tienen elementos comunes y cuando su ocurrencia implica la no ocurrencia del otro.
Los conjuntos A y C son conjuntos excluyentes, ya que no hay elementos comunes entre ellos y la suma de ambos conjuntos es el espacio muestral.
Los elementos del conjunto A sumados a los elementos del conjunto C dan como resultado del conjunto espacio muestral, de manera tal que cualquiera de los elementos que sea seleccionado corresponde a uno de los conjuntos A o C y descarta al otro.
e) Calcule Bc y P(Bc)
El conjunto complemento de un conjuntos dado es aquel conjunto que contiene todos elementos del espacio muestral que no están en el conjunto dado. Un conjunto y su complemento son conjuntos excluyentes y su suma es el espacio muestral.
De acuerdo con esto, por inspección formamos el conjunto complemento de B con todos los elementos del espacio muestral que no están en B. Su probabilidad será la suma de las probabilidades de los elementos que lo componen o la diferencia entre 1 y la probabilidad de B.
Bc = {E1, E3, E5, E6}
P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50
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