Question

Ejercicio d. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=x^2-x en el intervalo [1, 2], en donde use una partición de n=8. Siga los siguientes pasos: Graficar la función f(x) en Geogebra. Ubique con la ayuda de Geogebra los ocho (8) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x). ii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con una partición de n= 8.

Answer 1

Utilizando la definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [1, 2] para una partición de

n = 8 es:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 5/6 u²  

En la imagen se puede ver la ubicación de los rectángulos (8) que representación gráfica del área bajo la curva.  

Área por integral definida:  

A = 5/6 u²  

Explicación paso a paso:  

Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.  

Sea, f(x) =x²-x en el intervalos [1, 2] con n = 8;  

La n-ésima Suma de Riemann:  

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx  

Calculo de Δx;  

[1, 2] siendo: a = 1, b = 2;  

Δx = (b-a)/n  

Δx = (2-(1))/n  

Δx = 1/n  

calculo de x_i;  

x_i = a + iΔx  

Sustituir;  

x_i = 1 + i/n  

∑ f(x_i)Δx Sustituir;  

∑ f(1+i/n)/n  

(sumatoria de i=1 hasta n)∑ [(1+i/n)²-(1+i/n)]1/n  

Aplicar binomio cuadrado;

(1+i/n)² = 1 + 2i/n + i²/n²

sustituir;

∑[1 + 2i/n + i²/n²- 1 - i/n]1/n  

∑ [i/n +  i²/n²]1/n

∑ [i/n² + i²/n³]

Aplicar propiedad de sumatoria:

• ∑ ki = k ∑i  ,
• ∑ i = n(n+1)/2  y
• ∑ i² = n(n+1)(2n+1)/6

= 1/n²(n(n+1)/2) + 1/n³(n(n+1)(2n+1)/6)

= 1/2 + 1/2n +1/3+1/6n²

∑ [(1+i/n)²-(1+i/n)]1/n  = 5/6 + 1/2n +1/6n²

Aplicar limite;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{5}{6}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}})$

Evaluar;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{5}{6}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}})$

=  5/6 u²  

Calculo de la integral definida es el área bajo la curva:  

 $\int\limits^2_1 {x^{2}-x } \, dx$

Aplicar propiedad de la suma:  

 $\int\limits^2_1 {x^{2} } \, dx - \int\limits^2_1 {x } \, dx$

= x³/3 = 7/3

= -x²/2 = -3/2

A = 7/3-3/2  

A = 5/6 u²