El número de 4 cifras aabb es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la suma de sus cifras?

Respuestas

Respuesta dada por: SmithValdez
9

analizamos el numeral

aabb si aplicamos el criterio multiplo de 11 +-+- resulta ser cero ,osea que es un numero multiplo de 11

aabb=k²

aabb=(11°)²

aabb=(11k)²

1100≤(11k)²≤9999

3,...≤k≤9,..

k=[4,5,6,7,8,9]

so cumple cuando k=8

(11(8))²=7744


SmithValdez: la perfeccione
Respuesta dada por: francoomargiordano
6

Tenemos que:

aabb = 1000a + 100a +10b + 1b

= 1100a+11b

=11(100a+b)

Como el número es un cuadrado perfecto, 100a+b debe ser un número cuyos factores contengan al número 11 y otro número elevado al cuadrado (de esta forma, el 11 quedaría al cuadrado para que sea un cuadrado perfecto). La representación sería:

aabb=11².x² (x no tiene que ser necesariamente primo)

Sabemos que para que un número sea divisible por 11, la diferencia entre la suma de dígitos en posición par con respecto a la suma de los dígitos en posición impar es igual a un múltiplo de 11.

Para nuestro caso 100a+b (al cual podemos denotar como a0b), la diferencia estará dada por (a+b)-0=a+b. Por lo tanto, a+b debe ser un múltiplo de 11. Pero si lo razonamos, el único valor posible para a+b es 11 (no puede ser 22, por ejemplo, porque no hay suma de 2 cifras que lleguen a ese valor).

Entonces:

a+b=11

b=11-a

Y por lo tanto:

aabb=11(100a+b)

=11(100a+11-a)

=11(99a+11)

=11²(9a+1)

Nos queda entonces que 9a+1 debe formar un cuadrado perfecto (como hemos mencionado anteriormente), con a<10 (ya que hablamos de un dígito). Por lo tanto:

a=1 => 9.1+1=11

a=2 => 9.2+1=19

...

a=7 => 9.7 + 1=64=8²

Teniendo el valor de a, entonces:

aabb=11²(9.7+1)

aabb=7744

Por último, la suma de las cifras será 2.7+2.4=22

Saludos.

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