Question

Se necesita un tanque cilíndrico para almacenar agua, para su fabricación se requieren materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $5000 y el del lateral es de $10000. Calcular la altura h y el diámetro d para que el costo de un tanque de 15 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del tanque?

Answer 1

Las dimensiones para el tanque cilíndrico de menor precio son:

Altura  =  16.8 dm aproximadamente.

Diámetro  =  33.6 dm aproximadamente.

El precio del tanque es de $266000 aproximadamente.  

Explicación paso a paso:  

La función objetivo es el precio (en miles) de los materiales de construcción del tanque cilíndrico. Este se calcula por el producto de los costos de materiales por unidad de área y el área superficial del tanque cilíndrico. Si llamamos h la altura y r el radio del cilindro; la función objetivo viene dada por:  

$\bold{C~=~(10)(2\pi rh)~+~(5)(2\pi r^{2})}$  

Lo conveniente es que el costo esté expresado solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:  

$15~=~\pi r^{2}h \qquad \Rightarrow$  

$h~=~\frac{15}{\pi r^{2}}$  

por tanto la función objetivo es  

$C~=~\frac{300}{r}~+~10\pi r^{2}$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de C.  

$C'~=~-\frac{300}{r^{2}}~+~20\pi r$  

$C'~=~0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{300}{r^{2}}~+~20\pi r~=~0\quad \Rightarrow$  

$-300~+~20\pi r^{3}~=~0\quad \Rightarrow$  

$\bold{r=\sqrt[3]{\frac{15}{\pi}}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$C''~=~\frac{600}{r^{3}}~+~20\pi$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$C''_{(\sqrt[3]{\frac{15}{\pi})}}~>~0\quad \Rightarrow \quad r~=~\sqrt[3]{\frac{15}{\pi} }$ es un mínimo de la función C.  

Cuarto, hallamos el valor de  h  y tenemos las dimensiones del cilindro de precio mínimo de construcción.

$\bold{h~=~\frac{15}{\pi (\sqrt[3]{\frac{15}{\pi})^{2}}}}$

 $\bold{d~=~2r~=~2\sqrt[3]{\frac{15}{\pi}}}$  

Las dimensiones para el tanque cilíndrico de menor precio son:

Altura  =  16.8 dm aproximadamente

Diámetro  =  33.6 dm aproximadamente

El precio del tanque es de $266000 aproximadamente

Answer 2

Respuesta:

tendríamos que el precio para la fabricación de un tanque cilíndrico de capacidad de 15.000 litros, cuyos materiales cuestan $5000 de bases y el del lateral es de $10000 por cada metro cuadrado, sería de ≈$ 267.238,21551 aproximadamente; el diámetro de las bases de este cilindro tendrían que ser de 3,36778 m, y  su altura deberá ser de 1,68389 m

Explicación:

Para empezar podemos analizar que lo que se necesita, es hallar el costo minimo de fabricación de un cilindro de capacidad de 15.000 litros. Entonces para esto tenemos que usar las forumlas de área y volumen de un cilindro, y para ello, necesitamos, tal como nos pide el ejercicio, hallar la altura h, y el diámetro d.  

El volumen se halla facilmente multiplicando el área de la base (que es un circulo, y esta dado por la formula  Ac=π.r^2 por la altura del cilindro, quedando de esta manera:  

V=π.r^2.h

Ahora, para hallar el área de un cilindro, necesitamos hallar el área de las bases (dos círculos iguales), más el área lateral, quedando la fórmula de esta manera:  

A=2πr^2+2hπr=2πr(r+h)

Ahora, nos dice el ejercicio que el precio por metro cuadrado  es de 5.000 por las bases, y 10.000 pesos del lateral. Entonces usaremos cono unidad de medida, el metro.  

La capacidad del cilindro nos dice que es 15.000 litros, que como bien sabemos para convertirlo en metros cúbicos, debemos dividir esta cantidad en 1000, lo que quiere decir que 15.000 litros, equivalen a 15 metros cúbicos, entonces, ya sabemos el valor final del volumen, lo vamos a igualar a la fórmula de volumen, para poder despejar nuestra altura, y nuestro radio.  

V=π.r^2.h=15m^3

El precio del material es de $5.000 por metro cuadrado de la base. Y tenemos dos bases entonces:  

5.000(2πr^2)=10.000πr^2

Y el precio del lateral es de $10.000 por metro cuadrado, entonces sería:  

10.000.(2hπr)=20.000hπr

Y ahora, la función del precio del cilindro es:  

P= 10.000πr^2+20.000hπr

Como tenemos una variable mas, que es la h, lo mejor es dejar solo una variable en la función, entonces para esto podemos reescribir h en función de r, y lo hacemos con la formula del volumen que encontramos anteriormente, asi:  

V=π.r^2.h=15

h=15/(π.r^2 )

ahora si podemos dejar toda la función con una sola variable que será r:  

P= 10.000πr^2+20.000hπr

P= 10.000πr^2+20.000(15/(π.r^2 ))πr

Multiplicamos 20.000 por 15  

P= 10.000πr^2+(300.000/(π.r^2 ))πr

Ahora, derivamos la ecuación, con la regla de derivación de una suma, es decir que derivamos cada componente de la misma:  

f(r)=  d/dr 10.000πr^2+d/dx(300.000/(π.r^2 ))πr

f´(r)=20.000πr+(-300.000)/r^2  

Ahora, vamos a igualara esta función a cero y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:  

f´(r)=20.000πr+(-300.000)/r^2 =0

Definimos el rango definido para esta expresión con r diferente de 0, y resolvemos, (multiplicamos el denominador por el otro termino para uqe tengan ingual denominador, por eso nos queda r3)

f´(r)=(20.000πr^3-300.000)/r^2 =0

Para que esta expresión sea igual a cero, quiere decir que el numerador es igual a cero:  

20.000πr^3-300.000=0

20.000πr^3=300.000

r^3=300.000/20.000π

r^3=15/π

∛(r^3 )=∛(15/π)

r=∛(15π^2 )/π≈1,68389

Entonces, la función tiene un minimo radio de 1,68 m, y la altura tendría pues:  

h=15/(π.r^2 )

Podemos reescribirla de la siguiente manera:  

h=15/(π.〖(168389/〖100000〗^2 〗^2))

h=15/〖(π.168389)/〖100000〗^2 〗^2  

Utilizamos la propiedad de la oreja, o externos y medios:  

h=(15 .〖100000〗^2)/(π.〖168389〗^2 )

h≈1,68389 m

Y Ahora podemos hallar el precio:  

P(r)= 10.000πr^2+20.000hπr

P(1,68389)= 10.000πr^2+20.000hπr

P(1,68389)= 10.000π〖(1,68389〗^2)+20.000(1,68389)π(1,68389)

P(1,68389)≈$ 267.238,21551