Question

La suma de 2 vectores a y b, nos da un vector c, cuyas coordenadas son (1,-1,6); si el vector p = a x b es igual a (3,9,1) Determinar las componentes de a y b

Answer 1

Las componentes de los vectores a y b son : a= ( 1 ,-2 ,15 )  y b = ( 0 , 1, -9 )

Las componentes de los vectores a y b se calculan mediante el planteamiento y solución de un sistema de ecuaciones , que resulta de la suma de a y b al igualarla a ( 1 ,-1 ,6 ) y el producto vectorial p = axb = ( 3,9,1 ), de la siguiente manera :

   Sea :   a = ( x1 , y1 , z1 )    y  b =( x2,y2,z2)

   a +b = ( 1,-1,6 )

 ( x1,y1,z1 ) + ( x2,y2,z2 ) = ( 1, -1 ,6)

   x1 +x2 = 1     ;   y1 + y2 = -1     ;  z1 +z2 = 6

  Ahora se despeja x1,y1,z1 :

   x1 = 1-x2     ; y1 = -1-y2    ;  z1 = 6-z2

                    I  i      j      k   I    

    p = axb = I x1    y1    z1   I = ( y1z2 -z1y2 )i - ( x1z2-x2z1)j + ( x1y2-x2y1)k

                    I x2    y2    z2 I

    p = axb = ( 3, 9 , 1 )   Entonces :

        y1z2 -z1y2 = 3  

        x1z2-x2z1  = 9

          x1y2-x2y1 = 1      

 Se sustituyen x1 ,y1 , z1 y se expresa en función de x2,y2,z2 , de la siguiente manera :

     ( -1 -y2 )z2 - (6-z2 )y2=3   ⇒-z2 -y2z2-6y2+y2z2 =3

        -z2 -6y2= 3

    - ( 1-x2)z2 +x2(6-z2) = 9   ⇒-z2 +x2z2 +6x2-x2z2 =9

         -z2 +6x2 =9

       

       ( 1 -x2 )y2 -x2(-1-y2)= 1 ⇒   1 -x2y2 +x2 +x2y2=1

            1 +x2 = 1   ⇒ x2 =0  

         

      z2 = 6x2 -9  = 6*0 -9 = -9

      -z2- 6y2 = 3

      - ( -9) - 6y2 = 3 ⇒  y2 = 1

       x1 = 1-x2 = 1-0 = 1

       y1 = -1-y2 = -1 - 1 = -2

      z1 = 6-z2 = 6- (-9)= 15

    Las componentes de a y b  son : a ( 1 , -2 , 15 )     y  b ( 0 , 1 , -9 )