Question

Se construyen ceniceros con piezas de lámina que miden 14cm de lado, a las que se
les cortan cuadrados en las esquinas, doblando los lados hacia arriba (ver figura).
¿Cuáles son las dimensiones de cada cenicero para que este tenga volumen máximo?
¿Cuál es el volumen máximo?

Answer 1

Las dimensiones de cada cenicero para un volumen máximo son:

largo = ancho =  28/3 cm

alto = 7/3 cm

El volumen máximo del cenicero es:

Vmax = 203.3

Explicación paso a paso:

Datos;

lamina: lado mide = 14 cm

Dimensiones:

• largo = 14 - 2x
• ancho = 14 -2x
• alto = x

volumen:

V(x) = (largo)(ancho)(alto)

Sustituir;

V(x) = (14-2x)(14-2x)(x)

V(x) = x(196-28x-28x+4x²)

V(x) = 4x³-56x²+196x

Aplicar derivada;

V'(x) = d/dx(4x³-56x²+196x)

V'(x) = 12x²-112x +196

Igualar a cero;

12x²-112x +196 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂= -b±√[b²-4ac]/2a

Sustituir;

x₁,₂= 112±√[112²-4(12)(196)]/2(12)

x₁,₂= 112±√[3136]/24

x₁,₂= 112±56/24

x₁= 7

x₂= 7/3

Evaluar en dimensiones y el volumen;

largo = ancho =  14 - 2(7) = 0 cm

largo = ancho =  14 - 2(7/3) = 28/3 cm

V(7/3) = 4(7/3)³-56(7/3)²+196(7/3)

V(7/3) = 5488/27

Vmax = 203.3