Question

gráficas de sistemas?

[Imagen 1 y 2]
He podido hallar las respuestas correctas, sin embargo, me interesa saber como se llegan a ellas ¿o solo se puede saber la respuesta con simple deducción sin hacer ningún procedimiento o una matriz?

[Imagen 3 y 4]
En este por alguna razón pensé que sería más sencillo, no tiene mucho que aprendí como saber cuantas variables libres tiene una ecuación por ejemplo:

Variables libres = Número de variables establecidas [(x,y,z)ejemplo] -Número de ecuaciones no nulas de una matriz [(0)ejemplo] = 3

Entonces por cada sistema emplee una matriz y apliqué lo anterior como resultado está cada respuesta de la imagen 3 y 4 pero según parece estoy mal.

Nota: no hace falta responder para la imagen 3 y 4, lo más importante es de la imagen 1 y 2. Saludos

Answer 1

Para la imagen 1 y 2, sí, es necesario saber deducir y conocer las formas de los planos. Sin embargo, hay que tener varias consideraciones para hacer esas deducciones correctamente:

* Sabemos que la ecuación general del plano está dada por:

Ax+By+Cz+D=0

Las ecuaciones que se nos muestran en los ejercicios son de la forma:

Ax+By+Cz=-D

* Por otro lado, con respecto a los sistemas:

Si tiene una solución única, los planos se intersecan en un solo punto.

Si tiene soluciones infinitas, con 1 sola variable independiente, los planos se intersecan en una recta.

Si tiene soluciones infinitas, con 2 variables independientes, las soluciones se graficarán en un plano (para los casos donde dos ecuaciones son iguales, los dos planos se "intersecan" en el mismo plano).

Si no tiene solución, los planos no se intersecan a la vez.

Veamos ahora algunos sistemas:

1) Otra de las cosas que hay que tener en cuenta, es que el hecho de que no se muestre el valor de "y" no significa que la incógnita no exista, solo sucede que en todos los casos el valor de "B" es igual a 0.

Analizando el sistema, podemos concluir que si tiene solución, y que además tendrá soluciones infinitas (como "y" no se muestra, ya podemos tener la idea de que ésta será la variable independiente). Por lo tanto, como tendrá soluciones infinitas, pero solo 1 variable independiente, la intersección de los planos será una recta (Las únicas gráficas compatibles son A y D).

Analicemos las ecuaciones para encontrar la gráfica.

Podemos ver a x=0 como 1x+0y+0z=0

como B=C=0, la normal de la ecuación será perpendicular al plano (yz) y, por lo tanto, el plano será paralelo al plano (yz). El único plano paralelo al plano yz es el plano rojo de la gráfica D. Por lo tanto, ya podemos decir que el sistema corresponde al gráfico D. (Dejo una imagen adjunta).

2) Se nos presenta un sistema de ecuaciones que para mismos valores (todos z), se nos dan diferentes resultados. Con esto ya podemos deducir que la única gráfica correspondiente es la E, ya que las 3 ecuaciones (o planos) existen, son diferentes entre sí, pero no se intersecan.

3) z=0

1/z=1 => z=1

3z-3=0 => 3z=3 => z=1

Despejando los valores, podemos darnos cuenta que dos ecuaciones son iguales, por lo que la gráfica constará de solo dos gráficos. Además las dos ecuaciones distintas poseen mismos valores pero distintos resultados, deduciéndose que nunca se intersecarán. El único gráfico con 2 planos que no se intersecan corresponden con el I.

4) Se nos presenta un sistema de ecuaciones con una solución única (tenemos 3 incógnitas y 3 ecuaciones linealmente independientes). Por lo tanto, los planos se intersecarán en un solo punto. (Las únicas gráficas son H y F).

Sin embargo, aquí también participa x=0, por lo que existirá un plano paralelo al plano yz. Por otro lado, como z=0, también existirá un plano paralelo al eje xy. Por último, como y+z=0, el plano será paralelo al eje x.

Vemos que en la gráfica F y H, ambas poseen planos paralelos al eje yz y xy (rojo y verde claro respectivamente). Sin embargo, en la figura F, el plano paralelo a x (de color verde marino) también es paralelo al eje z. Por lo tanto, la figura F no corresponde al sistema, quedando entonces la figura H.

5) Se nos presenta otro sistema de ecuación con solución única. En base a lo mencionado en el punto anterior, podemos decir sin dudas que la figura correspondiente es la F.

6) Se nos presenta un sistema de ecuaciones con 3 ecuaciones distintas. Sin embargo, se nos presentan dos planos paralelos, por lo que los planos no se intersecarán a la vez.

La única figura con dos planos paralelos y otro que interseque a ambos, corresponde a la figura C.

7) z=1

3z=3 => z=1

-1/z=-1 => z=1

Las tres ecuaciones son iguales, por lo que la gráfica nos mostrará un solo plano. La única que cumple con esto es la figura B.

8) A simple vista no podemos decir mucho del sistema. Necesitamos algún método para comprobar que el sistema tengo solución. Utilizaremos el método de Gauss-Jordan.

$\left[\begin{array}{cccc}-1&0&1&1\\1&0&1&1\\0&0&1&-1\end{array}\right] Desarrollando\\\\\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&4\\1&0&1&1\\0&0&1&-1\end{array}\right]$

Como 0=4, se comprueba que el sistema no tiene solución, por lo que los planos no se intersecan a la vez. Por lo tanto, sabiendo eso, sumado que ningún plano es paralelo, y que los tres son diferentes, la única figura que cumple con esto es la figura G.

9) Otra vez, los datos no nos ayudan lo suficiente, por lo que recurriremos otra vez a Gauss-Jordan (no muestro la matriz para ahorrar caracteres). Se nos presenta entonces un sistema con 1 variable independiente, por lo que podemos decir tranquilamente que los planos se intersecarán en una recta. Los gráficos posibles son el A y el D. Sin embargo, ninguno de los planos es paralelos al plano yz (como se muestra en el plano rojo de la figura D), ya que ninguna ecuación tiene sus valores C y D iguales a 0.

Por lo tanto, podemos decir que el sistema corresponde a la figura A.

Saludos.