Question

Determina el perimetro y el area de un pentagono regular inscrito en una circunferencia de 36cm de radio

Answer 1

Véase la imagen adjunta.

Perímetro:

El perímetro de un pentágono regular va a estar dado por:

$p=5\times l$

Donde "l" es la longitud del lado. Si observamos la imagen, podemos formar un triángulo rectángulo entre el radio y la mitad de uno de los lados. Además, el ángulo de 36º lo podemos sacar al dividir 360/5 (la cantidad de lados), y luego al resultado (72) dividirlo por 2, ya que hablamos de la mitad del lado. Entonces, usando relaciones trigonométricas

$sen(36)=\frac{(1/2)l}{36cm} \\\\l=2.36cm.sen(36)\\\\l=42,32cm$

Siendo entonces uno de los lados igual a 42,32cm. Entonces el perímetro será igual a:

$p=5\times l = 5 \times 42,32cm=211,6cm$

Siendo el perímetro igual a 211,6cm

Área:

La fórmula del área estará dada por:

$A=\frac{p.a}{2}$

Donde "p" es el perímetro y "a" la apotema.

La apotema corresponde al segmento entre el centro del pentágono hasta el punto medio del lado. Esta también la podemos sacar con relaciones trigonométricas:

$cos(36)=\frac{a}{36cm}\\ \\a=36cm.cos(36)\\\\a=29,12cm$

Teniendo el apotema, podemos calcular el área:

$A=\frac{211,6cm \times 29,12cm}{2} =3080cm^2$

Siendo el área igual a 3080cm²

Saludos.